\chapter{有理数系}

    在小学算术中，我们已经学习了自然数和零及分
数的四则运算．这一章我们将进行系统复习，进一步
引入新数，并讨论它的运算及性质．

\section{自然数和零，分数及它们的运算}

\subsection{自然数和零，分数及它们的运算}

自然数是我们数个数和排次序的工具．例如：数
一数班上有几个学生；在一次体育比赛中，排列运动
员所得的名次等．都要使用自然数$1,  2,  3,\ldots$

    仔细分析这些自然数是很有意思的：
    
    其中头一个数是1，这是起码单位，表示一个；

    其次，“2”就是“1加1”，表示比一个多一
个，即$2=1+1$；“3”就是“2加1”，表示比
两个多一个，即$3=2+1$，也就是“1加1再加
1”，即$3=1+1+1$．

    同样地，这样逐次加1，就能得到一串顺序排列
的自然数．例如：  

3加1得到4，即
$4=3+1=2+1+1=1+1+1+1$

……

9加1得到10，即$10= 9+1=\cdots=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{10\text{个}}$．

……

显然，这样的逐次加1，是可以无止境地连续做
下去的，因而就可以得到无穷无尽的自然数．这就使
我们可以把任何一堆事物的“个数”逐个点清．事实
上，在我们逐个儿清点一大堆事物的“个数”，或者
逐个儿排列某些事物的次序时，所做的正是由1开始
“逐次加1”的工作.所以，“加1”正是自然数的
最根本运算.

    这就告诉我们：\textbf{由最小的自然数1开始，逐次进
行“加1”运算，就可以得到一个连一个的（简称连
续的）许多自然数．}而且，\textbf{自然数的个数是无穷无尽
的．}正因为这样，自然数这个工具就充分满足了我
们\textbf{数数}和\textbf{排次序}的需要．

这些自然数，我们通常用一串数码符号表示为：
$1,2,3,4,\ldots$

在今后的学习中，为便于一般性的讨论，对任一
个自然数，常用小写字母$a,b,c,\ldots,n,\ldots$表示．

    用一个字母表示任一个自然数时，要注意根据上
    面所说自然数的特征，明确字母的含义．例如：

    自然数$a$，就是$a$个1相加；也就是1加$(a- 1)$
次1；也就是$(a-1)$再加1，（自然数1是例外），
即：
\[a=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{a\text{个} 1}=1+\underbrace{1+\cdots+1}_{(a-1)\text{个} 1} = (a-1)+1\]

同样地，用字母$b$或$c$或$m$等表示任一个自然数
时，也有以上类似含义．

    自然数的全体，我们叫做自然数集合，简称\textbf{自然
数集}（或自然数系）．这个集合，可以用一个大写字
母$\mathbb{N}$表示，记作：
\[\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots,n,\ldots \} \]

在自然数集合中，每一个\textbf{单数}$1, 3, 5,\ldots, 2n-1,\ldots 2n-1,\ldots$也叫做\textbf{奇数}．相邻两个奇数的差是2；
每一个\textbf{双数}$2 ,  4 , \ldots,  2n\ldots$也叫做\textbf{偶数}．相邻
两个偶数的差也是2，而且每一个偶数都能被2整除．

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item  给定任一个自然数$b$，试写出紧接这个数后面连续的三个
      自然数．
      \item  如果给一个比3大的自然数$m$，那么，在这个数前边的三
      个连续自然数一定是$1,  2,  3$吗？$1,  2,  3$与自然数
      $m$连续吗？
      \item  给一个奇数$c$，试写出与它连续的三个奇数．
      \item  如果$n$表示一个自然数，你能否判断$n+n$和$n+1+n$，是奇
      数还是偶数？并举例验证你的结论．
      \item 假设自然数$a$比自然数$b$大5，试比较以下各对自然数的
        大小．并指出大多少？
\begin{center}
    \begin{tabular}{lll}
    $a+1$与$b$&
    $a + 1$与$b-2$&
    $a-3$与$b + 1$\\
    $a-4$与$b+1$&
    $a-4$与$b+ 3$\\
\end{tabular}
\end{center}

    \end{enumerate}  
\end{ex}

在小学中，还学习过数零．其符号是“0”，其
意义是表示数量的没有和位置的空白．

    现将在小学学习过的有关自然数和零的四则运算
法则总结如下：

    设$a,b$是两个自然数，
\begin{enumerate}[I. ]
    \item 加法
    
    例如：$5+3=5+1+1+1=8$．

        一般地，$a+b=a+\underbrace{1 +\cdots +1}_{b\text{个}} =c$．  
        （$c$也是自然数）．这就是说：任一个自然数$a$加上自然数$b$，就
        等于$a$进行$b$次加1运算后，所得到的自然数$c$．
        \item 减法——加法的逆运算
        
    例如：$8-3=5$或$8-5=3$．

        一般地，$c-a=b$或$c-b=a$．
        \item 乘法——同一个数的连加运算
        
    例如：$3\times 5=3+3+3+3+3=15$．

    一般地，$a\times b =\underbrace{a+a+a+\cdots+a}_{b\text{个}}=ab$
 这就是说：自然数$a\times b$就等于$b$个$a$连加后，所得到的自然数$ab$．

 \textbf{注意：}在用字母表示数的算式中，运算符号的乘
    号“$\times$”，可以用符号“$\cdot$”代替，也可以省略不
    写．即$a\times b=a\cdot b=ab$．这里的符号$ab$，既可以表示
    $a,  b$相乘；也可以表示它们相乘所得到的乘积．

    \item 除法——乘法的逆运算

            例如：$15\div 3=5$或$15\div 5=3$．

            一般地，$ab\div a= b$，或$ab\div b = a$．

        特别注意：在除法运算中，\textbf{零不能作除数}．

        \item 零与自然数$a$的运算法则．
\begin{center}
    \begin{tabular}{ll}
        $a+0=a$& $a\cdot 0=0$\\
        $a-0=a$&  $0\div a=0$   
    \end{tabular}
\end{center}
       
\end{enumerate}         

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 任意两个自然数$a,b$的和，能够是零吗？能够比$a$（或比
    $b$）小吗？
    \item 任意两个自然数的差，一定是自然数呜?试举例说明你的
  结论．
  \item 怎么样的两个自然数的积，正好等于其中的一个数？
  \item 怎么样的两个自然数的商，正好等于其中的一个数？怎么
    样的两个自然数的商等于1？
    \item 自然数和零的和、差、积、商(零不作除数)，都一定还
    是自然数或零吗？举例说明你的结论．
  
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{自然数和零的运算性质}
对于任意自然数和零的运算，普遍成立的运算律
和运算特征，就是它们的共同性质，我们简称为\textbf{运算
通性}．

下面对小学中已经学习过的\textbf{运算通性}进行整理，
并说明它们的普遍正确性．

设字母$a,  b,  c$都表示任一个自然数．

\begin{blk}{加法交换律}
\[a+b=b+a \]
\end{blk}
\begin{note}
    这个交换律之所以正确，可以这样分析：
设有两堆物品，甲堆有$a$个，乙堆有$b$个．假如我们先
数甲堆的个数，然后接着就数乙堆的个数，数到最后
一个数，就是两堆物品的总个数$a+b$；假如我们调过
来，先数乙堆的个数，再接着数甲堆的个数，数到最
后一个数，也就是这两堆的总个数$b+a$．这两种顺序
的数个数方法，结果当然是同一个数．因此，无论
$a, b$是什么样自然数，都有：
\[a+b=b+a \]

例如：$796+107=107+796$．
\end{note}


\begin{blk}{加法结合律}
    \[(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c \]
    \end{blk}
\begin{note}
    由自然数加法的含义，我们可以知道：算
式$(a+b) +c$的意义就是：对$a$先作$b$次“加1"
后，再做$c$次“加1”．也就是对$a$一共要做$(b+c)$
次“加1”．而这正好是$a+ (b+c)$的含义．因而，
这个等式是正确的．

    例如：$(701+153)+1001 =701+(153+1001)$．
\end{note}


    \begin{blk}{乘法交换律}
        \[a\cdot b=b\cdot a \]
        \end{blk}
\begin{note}
    现有参加团体操的少先队员，排成$a$行$b$列
的方阵队形．可以这样来统计总人数：“$a$行中，每
行都有$b$人”，所以
\[\text{总人数}=\underbrace{b+b+\cdots+b}_{a\text{个}}=b\cdot a \; \text{(个)} \]
也可以按“$b$列中，每列都有$a$人”的方法统计，所以
\[\text{总人数}=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{b\text{个}}=a\cdot b \; \text{(个)} \]

这里两种统计方法，结果应该是相同的，即$b\cdot a=a\cdot b$．

例如：$90367 \times  14578=10578 \times  90367$．
\end{note}
        

\begin{blk}{分配律}
    \[(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c \]
    \end{blk}
\begin{note}
    因为
\begin{align*}
    (a+b)\cdot c&=\underbrace{(a+b)+(a+b)+\cdots+(a+b)}_{\text{共$c$个括号}} \tag{乘法的意义}\\
    &=(\underbrace{a+a+\cdots+a}_{c\text{个}})+(\underbrace{b+b+\cdots +b}_{c\text{个}})\tag{加法结合律与交换律}\\
    &=a\cdot c+b\cdot c   \tag{乘法的意义} 
\end{align*}
所以$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c $
\end{note}


\begin{blk}{乘法结合律}
    \[(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) \]
    \end{blk}

\begin{note}
    因为
    \begin{align*}
        (a\cdot b)\cdot c&=(b\cdot a)\cdot c \tag{乘法交换律}\\
        &=(\underbrace{b+b+\cdots +b}_{a\text{个}})\cdot c \tag{乘法的意义}\\
        &=(\underbrace{b\cdot c+b\cdot c+\cdots +b\cdot c}_{a\text{个}})  \tag{分配律} \\
        &=(b\cdot c)\cdot a \tag{乘法的意义}\\
        &=a\cdot (b\cdot c) \tag{乘法交换律}\\
    \end{align*}

    所以$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$．

    例如：  $(501\x   235) \x 1709=501\x    (235 \x 1709)$．    
\end{note}
    
\begin{blk}{数0和自然数1的运算特性}
    \begin{center}
        \begin{tabular}{cc}
        $0+0=0$   &   $0\x 0=0$\\
        $0+a=a+0=a$   &   $a\x 0=0\x a=0$\\
        $a\x 1=a$   &   $a\div 1=a$\\       
        \end{tabular}     
    \end{center}
\end{blk}

这些特性显然是正确的．

\begin{ex}
    \begin{enumerate}
        \item 利用加法的交换、结合律说明：
        \[(a+b)+c=c+(b+a)\]
        \item 利用加法、乘法的意义，说明$a\cdot b+a\cdot c=a(b+c)$成立．
    \end{enumerate}
\end{ex}

以上讨论的对于任意自然数和零都成立的\textbf{运算通
性}，在运算中起着重要作用．

\begin{example}
    试求：$1+2+3+\cdots+100=$？
\end{example}

\begin{analyze}
如果一个个的顺次相加，显得太繁了．我们
仔细分析这100个连续的自然数的规律和特点，运用加
法的运算丫是可以大大化简计算提高速度的．因为：
\[1+100=2+99=\cdots=50+51=101\]
所以，将所给算式中的各个加数，经过交换、结合以
后，就可以很快求出结果．
\end{analyze}

\begin{solution}
\begin{align*}
    1+2+3+&\cdots+50+51+\cdots+100\\
&=\underbrace{(1+100)+(2+99)+\cdots+(50+51)}_{\text{共50个括号}}  \tag{加法交换结合律} \\
&=101\x 50  \tag{乘法的意义}\\
&=5050
\end{align*}
\end{solution}

\begin{example}
计算$a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+(a+99d)=$？
\end{example}

\begin{rmk}
   这里的字母$a,  d$都表示自然数或零，$2d,
    3d,\ldots, 99d$都表示乘积，在数字与字母表示的数相
    乘时，今后总是将数字写在前边，如$5\x a=a\x 5=
    5a$, $b\x 4\x m=4bm$等．它们的含义，也一律解释成：
$5a=a+a+a+a+a$，$4bm=bm+bm+bm+bm$等.
\end{rmk}

\begin{solution}
    \begin{align*}
       & a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+(a+99d)\\
    &=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{\text{100个}}+(d+2d+\cdots+99d)  \tag{加法交换、结合律} \\
    &=100a + (d+2d+\cdots+99d) \tag{乘法的意义}\\
    &=100a+d(1+2+\cdots+99) \tag{分配律}\\
    &=100a+d[\underbrace{(1+99)+(2+98)+\cdots+(49+51)}_{\text{49个括号}}+50]  \tag{加法交换、结合律}\\
    &=100a+(4900+50)d  \tag{乘法的意义、交换律}\\
    &=100a+4950d\tag{加法法则}
    \end{align*}  
\end{solution}

\begin{ex}
    利用自然数和零的运算通性计算
    \begin{enumerate}
        \item $1+2+3+\cdots+1001=$？
        \item $a+2a+3a+\cdots+100a=$？（$a$是自然数）
        \item $(a+b)+(2a+2b)+(7a+7b)=$？
    \end{enumerate}    
\end{ex}

\subsection{乘方运算及指数运算律}
    前面已经知道，乘法运算就是同一个数的\textbf{连加}运
算．由于乘法满足交换律，我们可以将乘法用公式表
示它的含义是：
\[n\x a=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{\text{$n$个}}\qquad \text{（当然也就是$a\x n$）} \]
这就是说：\textbf{$n\x a$就是$n$个$a$的连加}．

    也许有人会问：要是$n$个$a$连乘，会不会又是一种
新的运算呢？答案是肯定的．这就是下面要引进的乘
方运算．

    \textbf{同一个数的连乘运算}，叫做乘方运算．这个数连
乘的次数，只要记在它的右上方就表明了这一运算．

    例如：$3\x3$记作$3^2$；即$3^2=3\x3=9$．

    $3\x3\x3$记作$3^3$；即$3^3=3\x3\x3= 27$．

    $3\x3\x3\x3\x3$记作$3^5$；
    即$3^5=3\x3\x3\x3\x3=243$……

    $\underbrace{3\x3\x\cdot \x3}_{\text{$n$个3}}$记作$3^n$；即$3^n =\underbrace{3\x3\x\cdot \x3}_{\text{$n$个3}}$．

    为了方便，显然可以把3也记作$3^1$，即$3^1=3$．

    一般地，同一个数$a$的$n$
    次连乘，记作$a^n$，即
    \[\underbrace{a\x a\x a\x \cdot \x a}_{\text{$n$个}}=a^n \]
    其中$a$叫做\textbf{底数}，自然数$n$叫做\textbf{指数}，其结果$a^n$叫做
    \textbf{幂}．（读成“$a$的$n$次幂”或“$a$的$n$次方”）．
    
    特别地，从中可得出：
    \begin{itemize}
        \item $a=a^1$；
        \item $a\x a=a^2$，$a^2$也叫做“$a$的平方”；
        \item $a\x a\x a=a^3$，$a^3$也叫做“$a$的立方”．
    \end{itemize}
  
    
    由于零自连乘仍是零，所以，零的$n$次方总等于零，即
\[0^n=0 \]

\begin{example}
    计算：
$2^3$；$5^2$；$2^6$；$7^8$；$4^3 $；$0^{10}$
\end{example}

\begin{solution}
    \[\begin{split}
        2^3&=2\x2\x2=8\\
        5^2&=5\x5=25\\
        2^6&=\underline{2\x2\x2}\x\underline{2\x2\x2}=64\\
        7^3&=7\x7\x7=343\\
        4^3&=4\x4\x4=64\\
        0^{10}&=0
    \end{split}\]
\end{solution}

\begin{example}
    列表写出1—10的平方和立方．
\end{example}

\begin{solution}
    \begin{center}
        \begin{tabular}{c|cccccccccc}
            \hline
$a$ & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
            \hline
$a^2$&1&4&9&16&25&36&49&64&81&100\\
$a^3$&1&8&27&64&125&216&343&512&729&1000\\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
\end{solution}

\begin{example}
不必算出数值，利用乘方的意义说明下列等
号两边相等：
\begin{enumerate}
    \item $9^4\x9^3=9^7$；
    \item $a^{11}\x a^7=a^{18}$.
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{note}
\begin{enumerate}
    \item 由乘方的意义可知
\[9^4=9\x 9\x 9\x 9,\qquad 9^3=9\x 9\x 9 \]
所以
\begin{align*}
    9^4\x 9^3&=(9\x 9\x 9\x 9)\x (9\x 9\x 9)\tag{乘方的意义}\\
    &=9\x 9\x 9\x 9\x 9\x 9\x 9\tag{乘法结合律}\\
    &=9^7\tag{乘方的意义}\\
\end{align*}
\item \begin{align*}
    a^{11}\x a^7&=(\underbrace{a\x a\x \cdots \x a}_{\text{11个$a$}})\x (\underbrace{a\x a\x \cdots \x a}_{\text{7个$a$}})\tag{乘方的意义}\\
    &=\underbrace{a\x a\x \cdots \x a}_{\text{18个$a$}} \tag{乘法结合律}\\
    &=a^{18}\tag{乘方的意义}\\
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{note}

这个例子告诉我们：底数相同的幂相乘时，要点
在于\textbf{指数相加}，计算结果的底数是不会改变的．这一
事实是否普遍成立呢？有待进一步说明．

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 计算：$11^2$；$9^3$；$6^3$.
    \item 利用乘方意义，说明下列等式正确：
    \begin{enumerate}
        \item $7^2\x 7^3\x 7=7^6$；
        \item $5^{10}\x 5^{101}=5^{111}$；
        \item $b^2\x b^4=b^6$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{blk}{指数运算律(一)}
同底数幂相乘，指数相加，底数不变．即：
\[a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
\end{blk}

\begin{note}
    由于
    \begin{align*}
     a^m\cdot a^n &=(\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{\text{$m$个}})\cdot (\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{\text{$n$个}})   \tag{乘方的意义}\\
     &=\underbrace{a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a \cdots a}_{\text{$m+n$个}}\tag{乘法结合律}\\
     &=a^{m+n} \tag{乘方的意义}\\
    \end{align*} 

    所以，对于任意底数$a$和任意自然数指数$m, n$，
    都有：
    \[a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
       
\end{note}

\begin{example}
    利用指数运算律，计算下面的值：
    \[9\x 9^2,\qquad 2^3\x2\x2^3,\qquad a^5\cdot a^{11},\qquad 3^3\cdot 3+2\cdot 2^2 \]
\end{example}

\begin{solution}
    $$9\x 9^2=9^3=729$$
\begin{align*}
       2^2\x 2\x 2^3&=(2^2\x 2)\x 2^3 \tag{乘法结合律}\\
       &=2^3\x 2^3 \tag{指数运算律}\\
    &=2^6=64
\end{align*}
\[a^5\cdot a^{11}=a^{16} \]
\[3^3\cdot 3+2\cdot 2^2=3^4+2^3=81+8=89 \]
\end{solution}

\begin{example}
    计算：
    \[2^3\cdot 4,\qquad 3\x 81 \]
\end{example}

\begin{solution}
 要利用指数运算律进行计算，必须使两相乘
    部分成为\textbf{同底数幂}．因此，
\[2^3\cdot 4=2^3\cdot 2^2=2^5=32 \]
\[3\x 81=3\x 3^4=3^5=243 \]
\end{solution}

\begin{ex}
    \begin{enumerate}
        \item 利用指数运算律，计算：
        \[3^2\x 3^2,\qquad 9^2\x 9^2,\qquad 3^4\x 9,\qquad a\x a^2\x a^3 \]
        \item 利用运算通性及乘方的意义和指数运算律，说明以下等式
        是正确的．
        \[(3\x 2)^3=3^3\x 2^3,\qquad (a\cdot b)^2=a^2\cdot b^2\]
    \end{enumerate} 
\end{ex}

\begin{blk}{指数运算律(二)}
    乘积的幂，等于各因数的幂相乘，即：
    \[(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\]
\end{blk}

\begin{note}
由于
\begin{align*}
    (a\cdot b)^n&=\underbrace{(a\cdot b)\cdot(a\cdot b)\cdots(a\cdot b)}_{\text{$n$个括号}} \tag{乘方的意义}\\
    &=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{\text{$n$个}} \cdot \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{\text{$n$个}} \tag{乘法交换、结合率}\\
    &=a^n\cdot b^n \tag{乘方的意义}
\end{align*}
所以$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$．
\end{note}

\begin{example}
    计算：
    \begin{enumerate}
        \item $21^2,\quad 15^3,\quad 18^2$
        \item $15^2\x 6^3,\quad 45\x 15^3,\quad (ab)^2\cdot (ac)^3,\quad 125^3\x 8^3$
    \end{enumerate}
\end{example}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item $21^2=(3\x 7)^2=3^2\x 7^2=9\x 49=441$
         \[\begin{split}
            15^3&=(3\x 5)^3=3^3\x 5^3\\
            &=27\x 125=3375
        \end{split}\]
\[18^2=(2\x 9)^2=2^2\x 9^2=4\x 81=324\]
\item \begin{align*}
    15^2\x 6^3 &=(3\x 5)^2 \x (2\x 3)^3\\
    &=3^2\x 5^2\x 2^3\x 3^3\tag{指数运算律（二）}\\
    &=(3^2\x 3^3)\x 5^2\x 2^3 \tag{乘法交换率、结合律}\\
    &=3^5\x 5^2\x 2^3\tag{指数运算律（一）}\\
    &=729\x 25\x 8=145800
\end{align*}
\begin{align*}
    45\x 15^3&=5\x 9\x (3\x 5)^3\\
    &=5\x 9\x 3^3\x 5^3\tag{指数运算律（二）}\\
    &=(5\x 5^3)\x (3^2\x 3^3) \tag{乘法交换率、结合律}\\
    &=5^4\x 3^5\tag{指数运算律（一）}\\
    &=625\x 243=151875
\end{align*}
\begin{align*}
    (a\cdot b)^2\cdot (a\cdot c)^3 &= a^2\cdot b^2\cdot a^3\cdot c^3\tag{指数运算律（二）}\\
    &=(a^2\cdot a^3)\cdot b^2\cdot c^3 \tag{乘法交换率、结合律}\\
    &=a^5\cdot b^2\cdot c^3 \tag{指数运算律（一）}\\
\end{align*}
\begin{align*}
    125^3\x 8^3&=(125\x 8)^3 \tag{指数运算律（二）}\\
    &=1000^3=1000000000
\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{ex}
    \begin{enumerate}
        \item 计算：$64^2,\quad (2\x5)^2\x10^3,\quad (2+3)^2\x15,\quad  a\cdot (abc)^3$
        \item 利用运算通性与指数运算律，说明以下等式是正确的：
        \[ (411^2)^3  = 411^6,\qquad (b^7)^3=b^{21} \]
    \end{enumerate}   
\end{ex}

\begin{blk}{指数运算律(三)}
幂的乘方，指数相乘，底数不变，
即：
\[(a^m)^n=a^{mn}\]
\end{blk}

\begin{note}
    \begin{align*}
        (a^m)^n&= \underbrace{a^m\cdot a^m\cdots a^m}_{\text{$n$个}}     \tag{乘方的意义}\\  
&=\overbrace{\underbrace{(a\cdot a\cdots a)}_{\text{$m$个$a$}}\cdot \underbrace{(a\cdot a\cdots a)}_{\text{$m$个$a$}}\cdots \underbrace{(a\cdot a\cdots a)}_{\text{$m$个$a$}}}^{\text{$n$个括号}}\\
&=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{\text{$mn$个$a$}}\tag{乘法结合律}\\
&=a^{mn}\tag{乘方的意义}
    \end{align*}
    所以$(a^m)^n=a^{mn}$．
\end{note}

\begin{example}
    计算：$2^3\x 4^2,\qquad 40\x 100^3,\qquad 12\x 45^2$
\end{example}

\begin{solution}
   $$2^3\x 4^2=2^3\x (2^2)^2=2^3\x 2^4=2^7=128$$
   \[\begin{split}
       40\x 100^3&=2^2\x 10\x(10^2)^3\\
       &=2^2\x 10\x 10^6=4\x 10^7\\
       &=40000000
   \end{split}\]
   \[\begin{split}
    12\x 45^2&=3\x 4\x (5\x 3^2)^2=2^2\x 5^2\x 3^5\\
    &=(2\x 5)^2 \x 3^5=24300
   \end{split}\]
\end{solution}

\begin{example}
    计算：
    $$a^2\cdot (a^7)^3,\qquad b\cdot (b^2)^n,\qquad (ac)^2\cdot (a^m c)^3$$
    并说明每一步的理由．
\end{example}

\begin{solution}
\begin{align*}
            a^2\cdot (a^7)^3&=a^2\cdot a^{21} \tag{指数运算律（三）}\\
            &= a^{23} \tag{指数运算律（一）}\\
        \end{align*}
\begin{align*}
            b\cdot (b^2)^n&=b\cdot b^{2n} \tag{指数运算律（三）}\\
            &= b^{1+2n} \tag{指数运算律（一）}\\
        \end{align*}
\begin{align*}
            (ac)^2\cdot (a^m c)^3&=a^2\cdot c^2\cdot a^{3m}\cdot c^3 \tag{指数运算律（三）}\\
&=(a^2\cdot a^{3m})\cdot (c^2\cdot c^3) \tag{乘法交换、结合律}\\
            &= a^{2+3m}\cdot c^5 \tag{指数运算律（一）}\\
        \end{align*}        
\end{solution}

\begin{ex}
 \begin{enumerate}
     \item 计算：
           $$(4^2)^3,\qquad 2 \x (2^2)^3,\qquad a^2\cdot (a^2)^2,\qquad b^n\cdot (b^2)^m$$
       $$(2^3)^2 \cdot (8-7),\qquad       15^4 \x [12^2-(2^2 \x3)^2]$$
       \item 利用运算通性及指数运算律，说明以下等式是正确的：
 \begin{enumerate}
     \item $3^6\div 3^4=3^2$
     \item $a^7\div a^2=a^5,\qquad (a\ne 0)$
     \item $b^4\div b^4=1, \qquad (b\ne 0)$
 \end{enumerate}
     
 \end{enumerate}   
\end{ex}

\begin{blk}{指数运算律(四)}
    同底数幂相除，指数相减，底数不变．即：
\[a^m \div a^n=a^{m-n}\]
其中$m>n$,  $a\ne 0$
\end{blk}

\begin{rmk}
    因为$a\ne 0$, $m>n$
\begin{align*}
    a^m \div a^n&=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdots a}^{\text{$m$个$a$}}}{\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{\text{$n$个$a$}}}  \tag{乘方的意义}\\
    &=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdots a}^{\text{$(m-n)$个$a$}}}{1}  \tag{除法的性质}\\
    &=a^{m-n}\tag{乘方的意义}\\
\end{align*}    
所以，当$a\ne 0$时，$m>n$时，就有
\[a^m \div a^n=a^{m-n}\]
\end{rmk}

\begin{example}
    计算：$3^6\div 3^4,\qquad 15^3\div 15^2,\qquad a^{10}\div a^8 \; (a\ne 0)$
\end{example}

\begin{solution}
    \[3^6\div 3^4=3^{6-4}=3^2=9 \]
    \[15^3\div 15^2=15^1=15\]
    \[a^{10}\div a^8=a^2\qquad (a\ne 0)\]
\end{solution}

\begin{example}
    计算，并说明每一步的根据．
\[64^2\div 2^{10},\qquad (b^2)^3\div b\; (b\ne 0),\qquad (b^m)^2\div b^m\; (b\ne 0) \]
\end{example}

\begin{solution}
\begin{align*}
    64^2\div 2^{10}&=(2^6)^2\div 2^{10} \tag{乘方的意义}\\
    &=2^{12}\div 2^{10} \tag{指数运算律（三）}\\
    &=2^2 \tag{指数运算律（四）}\\
    &=4\tag{乘方的意义}
\end{align*}    
\begin{align*}
    (b^2)^3\div b &=b^6\div b \tag{指数运算律（三）}\\
    &=b^5 \; (b\ne 0)\tag{指数运算律（四）}\\
\end{align*} 
\begin{align*}
    (b^m)^2\div b^m  &=b^{2m}\div b^m \tag{指数运算律（三）}\\
    &=b^{2m-m}\tag{指数运算律（四）}\\
    &=b^m \; (b\ne 0)
\end{align*} 
\end{solution}

\begin{example}
    利用乘方的意义，说明下面等式是正确的：
\[7^5\div 7^5=1,\qquad a^4\div a^4=1\; (a\ne 0) \]
\end{example}

\begin{solution}
    直接由乘方和除法的意义可知：
\[ 7^5\div 7^5=\frac{7^5}{7^5}=\frac{7\x7\x7\x7\x7}{7\x7\x7\x7\x7}=1 \]
\[a^4\div a^4=\frac{a^4}{a^4}=\frac{a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a}=1\; (a\ne 0)\]
\end{solution}

这个例题告诉我们，\textbf{两个同底数(不为0)、同
指数的幂相除，其商等于1．}这个事实也就启示我
们，只要规定：
\[a^0=1\quad (a\ne 0) \]
指数运算法则(四)：$a^m\div a^n=a^{m-n}\; (a\ne 0)$
就对$m=n$的情形仍然有效．
例如：$7^5\div 7^5=7^{5-5}=7^0=1$；
$a^4\div a^4=a^{4-4}=a^0=1\; (a\ne 0)$；$27^2\div 3^6=3^6\div 3^6=3^0=1$等等．

\begin{ex}
利用指数运算律计算：
\begin{enumerate}
    \item $6^7\div 6^5,\qquad 27^2\div 3^2,\qquad 27^2\div 9^2,\qquad 3^4\div 81$
    
    $(a^2)^4\div a\; (a\ne 0),\qquad (a^m)^3\div a^m\; (a\ne 0)$
    \item $2^{15}\div 2^5\x 2^{10},\qquad 2^{15}\x 2^5\div 2^{10},\qquad 2^{15}\div 2^5\div 2^{10}$
    
    $4\x 4^2 +6^{10}\div 6^{10}-(8^0+7)^2$
\end{enumerate}
\end{ex}

在自然数和零的范围内，加法、乘法以及乘方运
算的结果，仍是自然数或零；但减法和除法运算的结
果都不能保证还是自然数或零，这是因为，在自然数
和零的范围内，还有不够减和除不尽的时候，如：
$3\div 5=$？与$3-5=$？为了解决这两个问题，我们
还将逐步引进一些新数，并讨论它们的运算.

\subsection{分数及其运算}

在我们的日常生活和工作中，还会遇到一些量，
要求我们去“量一量”、“分一分”，把所得的结果
用数表达出来．例如：用米尺“量一量”房子的长度
和宽度是多少？三个人分一个大西瓜，每人分多少？
解决这些问题，就要用到“小数”及“分数”的工具
了．例如，用米尺量得房子长6.50米，宽4.25米；每
人分得西瓜$\frac{1}{3}$个等．

在小学学习分数与小数时，我们已经知道：小数
都可以化成分数，而且遇到两个自然数相除但除不尽
时，商数就可以用一个分数表示出来，比如：
$6.5=\frac{65}{10}$；$4.25=4\frac{25}{100}$；$3\div 5=\frac{3}{5}$等等．

应该指出，\textbf{任一个分数，如$\frac{3}{5}$，$\frac{22}{7}$，$\frac{355}{113}$
等，都
可以看成是两个自然数的比}．因此，任一个分数，我
们都可以用字母的形式表示为：
\[\frac{a}{b},\quad \text{或}\quad \frac{c}{d}, \quad \text{或} \quad \frac{m}{n} \text{等} \]
其中，字母$a, b, c, d, m,n$等都表示任一自然
数．

    还应该指出，在今后的学习中，我们还可以把自
然数和零都看成是分数的特例，即：
\begin{itemize}
    \item 任一自然数$a$，看成分母为1、分子为$a$的一个
    分数，$a=\frac{a}{1}$；
    \item 零，看成分母为任意一个自然数$a$、分子为零的
    一个分数，$0=\frac{0}{a}$．
\end{itemize}

以下对于分数的性质和运算，做一番简要的复
习、归纳：
\begin{blk}{分数的特点}
    由于$\frac{1}{b}\; (b\ne 0)$是一个分数单位，且$b\x\left(\frac{1}{b}\right)=1$，所以，对于任一个分数$\frac{a}{b}\; (b\ne 0)$，都具有以
    下特点：
    \[b\x\left(\frac{a}{b}\right)=a \]
\end{blk}

例如：$5\x\left(\frac{3}{5}\right)=3$；$4\x\left(\frac{17}{4}\right)=17$等，
这就是说：分数$\frac{a}{b}$是一个数，只有这个数才能够使它
与数$b$的乘积，正好等于$a$．即，使$b\x(?)=a$的唯
一数，就是分数$\frac{a}{b}$．

\begin{blk}{分数的基本性质}
    设任一分数$\frac{a}{b}\; (b\ne 0)$，
另外有任一个不为零
的数$m$．我们就有
\[\frac{a}{b}=\frac{am}{bm}=\frac{a\div m}{b\div m} \]
\end{blk}

这就是说，\textbf{分数的分子、分母同时乘以或除以一
个不为零的数，分数的值不变}．例如：$\frac{6}{8}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$
等．

分数的这个基本性质，是通分、约分及分数运算
的主要根据，必须很好掌握．

\begin{ex}
    \begin{enumerate}
        \item 填空：\[(\qquad )\x \frac{1}{7}=1 \]\[4\x\frac{(\qquad)}{(\qquad )}=5\]\[m\cdot \frac{(\qquad)}{(\qquad )}=n,\; (m\ne 0)\]
        \item 填空：\[\frac{6}{9}=\frac{2}{(\qquad)}=\frac{(\qquad)}{126}\]\[\frac{(\qquad )}{b\cdot c}=\frac{a}{b}=\frac{a^2}{(\qquad )}\quad (a,b,c\ne 0)\]
    \end{enumerate}
\end{ex}


\begin{blk}{分数的运算及其性质}
    分数的四则运算，实质上都是归结为自然数的运
算来进行的．但也要注意在分数运算中的特殊性，就
是：应用基本性质进行\textbf{通分}，化为同分母（相同分数
单位）的分数，才能进行加、减法；而且，四则运算
的结果，又必须应用基本性质进行\textbf{约分}，得到最简分
数为止．
\end{blk}


现在，用字母的算式把分数的运算法则总结如
下：

\begin{blk}{加、减法}
    \[\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}\pm\frac{bc}{bd}=\frac{ad\pm bc}{bd} \]
\end{blk}

如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$；$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$等．

\begin{blk}{除法}
    \[\frac{a}{b}\div \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\x\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\]
\end{blk}

如：$\frac{1}{2}\div\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\x \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$．

\begin{blk}{乘方}
    \[\left(\frac{a}{b}\right)^m=\underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)\cdot \left(\frac{a}{b}\right)\cdots \left(\frac{a}{b}\right)}_{\text{$m$个}}=\frac{a^m}{b^m}\]
\end{blk}

这就是说：
\textbf{分数的乘方，等于分子、分母各自同次乘方}．这
个运算法则，我们作如下说明：

\begin{note}
    因为$m$为自然数，
\begin{align*}
    \left(\frac{a}{b}\right)^m&=\underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)\cdot \left(\frac{a}{b}\right)\cdots \left(\frac{a}{b}\right)}_{\text{$m$个}}
 \tag{乘方的意义}\\
&=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdots a}^{\text{$m$个}}}{\underbrace{b\cdot b\cdots b}_{\text{$m$个}}} \tag{分数乘法法则}\\
&= \frac{a^m}{b^m}\tag{乘方的意义}\\
\end{align*}
所以$\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$
\end{note}

例如：
\[ \begin{split}
    \left(\frac{3}{5}\right)^3&=\left(\frac{3}{5}\right)\x \left(\frac{3}{5}\right)\x \left(\frac{3}{5}\right)\\
    &=\frac{3^3}{5^3}=\frac{27}{125}
\end{split} \]
\[ \left(\frac{c}{d}\right)^4=\frac{c^4}{d^4} \]

分数运算，既然都是归结为自然数的运算，因
此，不难说明分数运算也是满足运算律的．例如：
分数加法的\textbf{交换律}是
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$．

\begin{note}
    因为
    \begin{align*}
        \frac{a}{b}+\frac{c}{d}&=\frac{ad+bc}{bd} \tag{分数加法法则}\\
        &=\frac{bc+ad}{bd}\tag{自然数加法交换律}\\
        &=\frac{bc}{bd}+\frac{ad}{bd}\\
        &=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}\tag{分数的基本性质}\\
    \end{align*}
    所以，$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$．
\end{note}

同样，分数运算中，加法结合律、乘法结合律，
交换律以及分配律、指数运算律都是正确的．

\begin{ex}
    \begin{enumerate}
        \item 试说明分数乘法的结合律和分配律．
        \item 如果$m,n$都是自然数或零，试说明指数运算律：
        \[\left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \]
    \end{enumerate}
\end{ex}

运用分数运算的性质，同样可以简化计算，提高
速度．

\begin{example}
    计算 $\left(\frac{3}{5}\x\frac{1}{7}+\frac{6}{7}\x \frac{3}{5}\right)\x\left(\frac{211}{122}\x\frac{122}{211}-\frac{2}{5}\right)^2$
\end{example}

\begin{solution}
   \begin{align*}
       \text{原式}&=\frac{3}{5}\left(\frac{1}{7}+\frac{6}{7}\right)+\left(1-\frac{2}{5}\right)^2\tag{分配律、分数乘法法则}\\
       &=\frac{3}{5}\x\left(\frac{3}{5}\right)^2 \tag{分数加、减法法则}\\
&=\left(\frac{3}{5}\right)^{1+2}=\left(\frac{3}{5}\right)^3\tag{指数运算律（一）}\\    
    &=\frac{3^3}{5^3}=\frac{27}{125}   \tag{分数的乘方运算律}
    \end{align*} 
\end{solution}

\begin{ex}
    运用运算性质计算：
\begin{enumerate}
    \item $5\frac{3}{8}+10\frac{1}{3}+4\frac{5}{8}$
    \item $5.9+7.3+5.1+1.7$
    \item $3^2\x 4\frac{7}{27}$
    \item $\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{4}{9}\right)^5\div \left(\frac{9}{4}\right)^2\x \left(\frac{9}{4}\right)^3$
\end{enumerate}
\end{ex}

在分数(包括其特例的自然数和零)范围内，加
法、乘法(包括乘方)、除法运算的结果都能保证是
分数(包括自然数和零)．就是说，有了分数以后，
“除不尽”的矛盾就能解决了．但在作减法时仍然存
在着“不够减”的矛盾，如：$3-5=?$，$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=?$
等．这个矛盾我们将在下一节解决它．

\section*{习题1.1}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题1.1}

\begin{enumerate}
\item 如果字母$a$表示任一个自然数，试完成下列各题：
    \begin{enumerate}
        \item 写出包括$a$在内的三个连续自然数.
        \item 小方很快地写出“$a-2, a-1, a$”是三个连续自
  然数，你说对吗？为什么？
  \item 假如$a$表示自然数5，那么，$a-3,a+3$各表示
  什么数？
  \item 假如$a+10$表示自然数100，那么$a$表示那一个自
  然数？$a-10$又表示那一个自然数？
  
    \end{enumerate}

\item  如果自然数$a$进行6次“加一”以后，得到自然数$b$.
试比较以下各对自然数的大小，并指出大多少？
   \begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $a+3$ 与 $b+1$
    \item $a+4$ 与 $b-2$
    \item $a+5$ 与 $b-5$
    \item $a+1$ 与 $b+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item  举例验证：对于任一个自然数$n$来说，“$n+n=2n$总是
一个偶数”；“$2n + 1$与$2n-1$都是奇数．”

\item 用含有字母的算式，表示下列所说的各数：
\begin{enumerate}
    \item 与自然数$a$连续的三个自然数(包括$a$)的总和．
    \item 自然数$b$的三倍与最小自然数的和．
    \item 自然数$n$与$m$的差的五倍．
\end{enumerate}

\item 试求出在下列条件下，字母$n$表示那些个自然数：
\begin{enumerate}
    \item $n-5$ 表示 1
    \item  $3n$ 表示 120
    \item  $n+7$ 表示 8
    \item  $4n$ 表示 3的倍数
\end{enumerate}

\item 利用运算通性，说明下式正确：
\begin{enumerate}
    \item $(a+1)\cdot (b+1)=a\cdot b+a+b+1$
    \item $(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$
\end{enumerate}

\item 计算：(尽量利用“通性”，简化计算)
\begin{enumerate}
    \item $1+3+5+7+9+\cdots+99$
    \item $(2+b)+(2+2b)+\cdots+(2+20b)$
    \item $102\x 99$ （提示：将原题化为$(100+2)\x(100-1)$计算 ）
    \item $(2a+1)+(4a+1)+\cdots +(20a+1)$
\end{enumerate}

\item 填出下列表中各数：
\begin{center}
    \begin{tabular}{c|cccccccccc}
        \hline
        $n$ & 11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\
\hline
$n^2$\\
$n^3$\\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\item 利用指数运算律(一)计算：
\begin{enumerate}
    \item $2^3\cdot 2,\qquad 10^2\cdot 10\cdot 10^3,\qquad a^2\cdot a^3\cdot a^4$
    \item $2^2\cdot 128,\qquad a^2\cdot b\cdot a^3,\qquad 81\x 3^2$
    \item $a\cdot a^2\cdot a^3\cdots a^{100}$
\end{enumerate}

\item 利用指数运算律计算：
\begin{enumerate}
    \item $21^2\x 15^2,\qquad 6^2\x(12\x 9)^3,\qquad (a\cdot b)^3\cdot b^2$
    \item $3\x 3^3+4\x 4^3-15^2,\qquad (2^2+3^2)^2,\qquad (2^2)^2+(3^2)^2$
    \item $(2\x3\x5)^2-2^3\x10^2,\qquad (a^2)^4\cdot (a^2)^2$
\end{enumerate}

\item 试说明： $$a^{m+1} \cdot a^{n}=a^{n+1} \cdot a^{m},\qquad 
(a \cdot b)^{m+2}=a^{2} \cdot(a b)^{m} \cdot b^{2}
$$
\item 
利用指数运算律及运算性质计算：
\begin{enumerate}
    \item $70^{8}\div 70^{7},\qquad 13^{100}\div 13^{98},\qquad 5^{10}\div 25^{4}, \qquad \left(a^{5}\right)^{2}\div a^{5}$
    \item $12^{3}\div 6^{2},\qquad 9^{4}\div 27^{2} ,\qquad 81^{2}\div 9^{4} ,\qquad 125^{2}\div 25^{2}$
    \item $a^{2 m} \div a^{m},\qquad a^{6}\div a^{4} \div a ,\qquad a^{6} \times a^{4} \div a^{2},\qquad a^{6}\div\left(a^{4} \times a^{2}\right)$
    \item $\left(a^{6} \times b\right)\div a^{4},\qquad \left(a^{7} b^{2}\right)\div a^{5} b ,\qquad \left(a b^{2}\right)^{2}\div \left(a^{2} b\right)$
\end{enumerate}

\item 计算：
\begin{enumerate}
    \item $2^8\div 2^7\x 5^3\div 5,\qquad 2\x 100^4\x 10^7\div 1000^5,\qquad 5^5\x 25^2\div 5^8$
    \item $\frac{2^6\x 49^4}{7^7\x 8^2},\qquad \frac{4^8\x 10^0\x 3^{10}}{6^{10}},\qquad \frac{15^8}{9^4\x 5^7},\qquad \frac{2^5\x 6^{18}}{2^{22}\x 9^9}$
\end{enumerate}

\item 如果字母$x$表示分数$\frac{1}{5}$，试求出下面含有字母$x$的算
式所表示的数：
\begin{enumerate}
    \item $x+1,\qquad 10x,\qquad \frac{x}{10},\qquad (x-3)\times 2$
    \item $\frac{1}{2}x-\frac{1}{10},\qquad \left(x+\frac{1}{10}\right)^2,\qquad x^2+5x-\frac{1}{25}$
\end{enumerate}

\item 试说明分数运算中，分配律的正确，即：
\[\frac{b}{a}\left(\frac{c}{d}+\frac{m}{n}\right)=\frac{bc}{ad}+\frac{bm}{an} \]

\item 计算下列各题：
    \begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}$
    \item $\frac{14}{9}\x\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)$
    \item $\left(1-\frac{1}{5}\right)\div 2$
    \item $\left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}-\frac{1}{12}\right)\div 3\frac{2}{19}$
    \item $5\x \frac{1}{16}\x \frac{2}{3}\div \frac{25}{24}+\frac{1}{3}$
    \item $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 计算：
\begin{enumerate}
    \item $0.1\x 1.14+0.1\x 0.86$
    \item $10-2\cdot (4.18+0.82-5)$
    \item $\left(3\frac{7}{9}+\frac{1}{2}-2\frac{7}{90}+3.17\right)\x\left(9\x\frac{1}{3}-1.5\x 2\right)+1$
\end{enumerate}

\item 利用指数运算律计算：
\begin{enumerate}
    \item $\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3,\qquad \left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2,\qquad \left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2,\qquad \left(\frac{1}{2}\right)^2\x 4^2$
    \item $\left[\left(\frac{1}{5}\right)^2\right]^2,\quad \left[\left(1\frac{1}{7}\right)^2\right]^2,\quad \left[\left(\frac{9}{4}\right)^{88}\right]^0,\quad \left[\frac{2}{1981^0}\right]^5,\quad \left[\left(\frac{a}{b}\right)^m\right]^8$
    \item $\left(\frac{5}{3}\right)^{10}\div \left(\frac{5}{3}\right)^8,\qquad \frac{8}{125}\div\left(\frac{2}{5}\right)^8,\qquad \left[\left(\frac{4}{5}\right)^2\right]^3\div \left[\left(\frac{5}{4}\right)^0\right]^2$
    \item $\left(\frac{5}{3}\right)^{10}\div \left(\frac{5}{3}\right)^7\div \left(\frac{5}{3}\right),\qquad \left[\left(\frac{1}{2}\right)^m\right]^3\div (2^m)^3$
\end{enumerate}

\item 计算：
\begin{enumerate}
    \item $3\x\frac{1}{16}\x\left(\frac{2}{3}\right)^2\x 17^0+\left(\frac{1}{2}\right)^2\x\left(\frac{1}{6}\right)^2\div \left(\frac{1}{3^2\cdot 4^2}\right)$
    \item  $\frac{1}{55}+\frac{2}{55}+\frac{3}{55}+\cdots+\frac{10}{55}+\frac{11}{155}+\frac{12}{155}+\cdots +\frac{20}{155}$ 
      \item $\left(12\frac{4}{5}\x 3\frac{3}{4}-4\frac{4}{11}\x 4\frac{1}{8}\right)\div \left(11\frac{2}{3}\x 2\frac{4}{7}\right)$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\section{有理数的意义}
\subsection{相反意义的量}

在日常生活和工作中，我们常遇到一些\textbf{成对}出现
的量，它们的意义是完全相反的．

例如：本市某一天的最高气温是\textbf{零上}10\oc，而最低气
温是\textbf{零下}3\oc；粮库收进粮食32万斤，而售出粮食20万斤；
地形图上，甲地高出海面7.3米，而乙地低于海
面5.7米，等等．

    这些问题中的\textbf{零上}与\textbf{零下}、\textbf{收进}与\textbf{售出}、\textbf{高出}与
    \textbf{低于}以及我们所熟悉的\textbf{收入}与\textbf{支出}、\textbf{盈余}与\textbf{亏损}、\textbf{上
升}与\textbf{下降}等，都表示完全相反的意义，在实际问题
中，就可以描述具有相反意义的配对的量．

但是这里应注意，在现实生活中，要识别这些成
对出现的量的相反意义，就要首先明确它们的\textbf{基准}．
比如，上边三个例子中，它们的“基准”分别是“冰
的溶解温度0\oc”、“粮食的不进不出”以及“海平
面的标高”等．

    同时，还应注意，这些成对的相反意义的量都有
一个共同特点，就是：\textbf{在研究两者的总效果时，可以
互相抵消或一部分抵消}．比如：收入100元与支出100
元，其总效果正好抵消；上升1000米与下降900米，
其总效果就是抵消一部分而成为上升100米的结果．

\begin{ex}
    试举出三对相反意义的量的例子，并说明它们的“基准”
    和“特点”．
\end{ex}

\subsection{正数和负数、相反数}
    怎么样把一对相反意义的量数，用数值表示出来
呢？显然，只用算术中所学的数是无法解决的，比
如：零上10\oc 与零下10\oc 的气温，如果都用数值10
表示，就无法说明是零上10\oc 呢，还是和它意义相
反的零下10\oc．这样给我们会带来很多不方便，为
了有系统地处理这种相反意义的量，特别是便于比较
和进行运算，就需要引进新的数，明确表示出相反意
义的量，并显示出这一对相反意义量的特点——可以
抵消或部分抵消．为此，我们可以把量的“没有”或
相反意义量的“基准”用数0表示；而把任一对相反
意义量的数值，分别用带有正号“$+$”和带有负号
  “$-$”的数来表示．例如：
    
    把冰的溶解温度定为0\oc，就可以把“零上10\oc
表示成$+10$\oc"，而把“零下10\oc 表示成$-10$\oc”．
这就是说，$+ 10$\oc 表示比0\oc 高10\oc；$-10$\oc 表示
比0\oc 低10\oc ．而这里的$-10$\oc 也可以说“是比0\oc
\textbf{高}$-10$\oc” 的温度．

同样，运进粮食32万斤，可写成$+32$万斤，而售
出粮食20万斤，就写成$-20$万斤，也能说成“运进粮
食$-20$万斤”．

    又，把海平面的标高算作0米，就把“高出海面
7.3米，写成$+7. 3$米；而低于海面$5.7$米就写成$-5.7$
米，也能说成“高于海面$-5. 7$米”等等．

    这样一来，我们如果认定带有正号“$+$”的数就
是算术中所学的数(0除外)，叫做\textbf{正数}，那么，与
它们有相反意义的就是带有负号“$-$”的数，这些
数，叫做\textbf{负数}．

    一般来说，相应于“成对的相反意义的量”，我
们就在原有数(正数)的基础上，引进了\textbf{负数}．而负
数的基本特征是：\textbf{与正数合并时，其结果可以相消或
部分相消}．这正是反映了“相反意义的量，其总效果
可以抵消或部分抵消”的特点．

\textbf{数零，既不是正数，也不是负数}．它是正、负的
界限，表示“基准”或“数量的没有”．

    还要进一步指出，由相反意义的量而引进负数以
后，对任一个数，总可以找出与它合并时正好相消的
数来．比如：$-3$与$+3$，$+\frac{1}{2}$与$-\frac{1}{2}$，$-3\frac{1}{4}$与$+3\frac{1}{4}$等分别是一对可以相消的数，就是说：
\[(-3)+(+3)=0,\qquad \left(-\frac{1}{2}\right)+\left(+\frac{1}{2}\right)=0,\qquad \left(-3\frac{1}{4}\right)+\left(+3\frac{1}{4}\right)=0 \]

一般地说，\textbf{对任一个数$a$，总能有一个数$-a$，使
它们可以相消，即$(-a) +a=a+ (-a) = 0$，我们
把这样的一对数，就称为互为相反数}．

例如：$-3$与$+3$，$+\frac{1}{2}$与$-\frac{1}{2}$，$-3\frac{1}{4}$与$+3\frac{1}{4}$等，都分别\textbf{互为相反数}．特别地，$+1$与$-1$分别表示
相反意义量的两个单位，它们也是互为相反数．

\textbf{零的相反数，仍是零．}

\begin{ex}
 \begin{enumerate}
     \item 指出下列问题中的“基准”，再用正、负数表示出问题中
     的数量：
     \begin{enumerate}
         \item 由天安门广场某处，向东300米和向西500米；
         \item 某种物品，多余75件和缺少10件；
         \item 某单位，今年盈利5000元和去年亏损700元；
         \item 由北京站向北600公里和向南1000公里；
         \item 收入100元和支出100元；
         \item 由某处向上$a$米和向下$b$米．
     \end{enumerate}

       \item 指出下列各数的相反数：
   \[+5,\qquad +7\frac{1}{2},\qquad -\frac{4}{3},\qquad -2,\qquad +0.01,\qquad -9.32,\qquad 0 \]
 \end{enumerate}   
\end{ex}

\subsection{有理数、数轴}
    引进负数以后，扩大了数的范围\footnote{我国古代数学家刘徽，对正、负数下的定义是“今两
算得失相反，要令正负以名之”．这是世界上最早的正、负
数定义．}．因而，当我们
说到整数时，就应该包括：正整数(自然数)、负整
数和零；当我们说到\textbf{分数}时，就应该包括：正分数、
负分数． \textbf{整数和分数，统称为有理数}\footnote{“有理数”是``Rational number''的译名．比较确
切的词，应称为“比数”，因为有理数都可以表示成$\frac{a}{b}$的分
数形式．今后，还会学习“非比数”．}．

全体有理数组成的集合，称为\textbf{有理数集合}，或称
\textbf{有理数系}．记作集合$\mathbb{Q}$．

    全体整数组成的集合，称为\textbf{整数集合}或\textbf{整数系}.
记作集合$\mathbb{Z}$．
\begin{center}
    \begin{tikzpicture}[>=latex]
    \node (A) at (0,0) {有理数};
    \node (B1) at (2,1.5) {整数};
    \node (B2) at (2,-1.5) {分数};
    \node (B11) at (4,2.5)[right] {正整数（自然数）};
    \node (B12) at (4,1.5)[right] {零};
    \node (B13) at (4,.5)[right] {负整数};
    \node (B21) at (4,-.5)[right] {正分数};
    \node (B22) at (4,-2.5)[right] {负分数};
    \draw [->](A)--(B1);
    \draw [->](A)--(B2);
    \draw [->](B1)--(B11);
    \draw [->](B1)--(B12);
    \draw [->](B1)--(B13);
    \draw [->](B2)--(B21);
    \draw [->](B2)--(B22);
    
    \end{tikzpicture}
    \end{center}

    前面已经学习过：全体自然数(正整数)组成\textbf{自
然数集合}，记作集合$\mathbb{N}$．

    比较以上三个数的集合，可以知道：

集合$\mathbb{N}$中所有的数，都被包含在集合$\mathbb{Z}$中;而集合$\mathbb{Z}$中所有的数，又被包含在集合$\mathbb{Q}$中．这种关系，可以表示为：
\[\mathbb{N}\subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\]       
读作：“集合$\mathbb{N}$被包含在集合$\mathbb{Z}$中，集合$\mathbb{Z}$又被包含在
集合$\mathbb{Q}$中，”显然，$\mathbb{N}$当然也被包含在$\mathbb{Q}$中．

这种关系也可以表示成：
\[\mathbb{Q}\supset \mathbb{Z} \supset \mathbb{N}\]       
读作：“$\mathbb{Q}$包含$\mathbb{Z}$，
    $\mathbb{Z}$又包含$\mathbb{N}$”，显然，$\mathbb{Q}$也包含$\mathbb{N}$．

    有理数集合，有时还可以这样叙述：
\[\text{有理数集}\supset \begin{cases}
    \text{正有理数集}\\
    \{0\}\\
    \text{负有理数集}
\end{cases} \]
    
    有理数可以用一条直线上的点表示出来，具体方
法是：

    首先，取一条水平直线(如图1.1)，规定自左
    向右的方向为正向、任取一点$O$为基准点(叫原点)、
    选好一个单位长度1．这样\textbf{规定了方向、原点及单位长的直线}，就叫做\textbf{数
    轴}．记作$OX$．

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex]
  \draw [fill=black] (0,0) circle(1.5pt);
\node at (0,-.25){$O$};
\draw[|-|] (0,1)--node[above]{1}(1,1);
        \draw[->] (-3,0)--(4,0)node [right]{$X$};
        \draw [->](-1,-1)--(1,-1)node [right]{正方向};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}


    其次，在数轴上，以原点表示\textbf{数0}；从原点起，
用单位长\textbf{向右}逐次量取一次，二次，……，所得各分
点，就分别表示正整数$+1$、$+2$、……；从原点起，
用单位长\textbf{向左}逐次量取一次、二次，……，所得各
分点，就分别表示\textbf{负整数}$-1$，$-2$，……．用同样方
法，若改用单位长的$\frac{1}{10}$或$\frac{1}{100}$，或$\frac{1}{1000}$等去量取，就可以得到表示正、负分数的点．

    因此，我们可以说：
\begin{blk}{}
    对于任一个有理数$a$(可以是正有理数或是0或
是负有理数)，在数轴上都可以有一个确定的点$A$表
示它．
\end{blk}
    
\begin{example}
    将下列各个有理数，用数轴上的点表示出来：
    \[3,\quad  -\frac{3}{2},\quad -0.5 ,\quad 0 ,\quad 1\frac{1}{4} ,\quad -2 ,\quad -3  \]
\end{example}

\begin{solution}
首先画出数轴$OX$(图1.2)，根据所确定的
的原点$O$、方向、单位长，就可以确认：数0用原点
$O$表示；其次，可逐次量取，分别将数$3$，$-\frac{3}{2}$，$-0.5$，$1\frac{1}{4}$，$-2$，$-3$
用点$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$表示．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex]
  \draw [fill=black] (0,0) circle(1.5pt);
  \draw [fill=black] (3,0) circle(1.5pt) node[below=3pt]{$A$};
  \draw [fill=black] (-1.5,0) circle(1.5pt)node[below=3pt]{$B$};
  \draw [fill=black] (-.5,0) circle(1.5pt)node[below=3pt]{$C$};
  \draw [fill=black] (1.25,0) circle(1.5pt)node[below=3pt]{$D$};
  \draw [fill=black] (-2,0) circle(1.5pt)node[below=3pt]{$E$};
  \draw [fill=black] (-3,0) circle(1.5pt)node[below=3pt]{$F$};

        \draw[->] (-4,0)--(4,0)node [right]{$X$};
        \node at (0,.3){$0$};\node at (1,.3){$1$};
        \draw[thick, |-|](0,0)--(1,0);
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}
\end{solution}

\begin{example}
    把下列各数及它们的相反数都用数轴上的点
    表示出来，并按它们在数轴上从左到右的顺序排列出
    来：
  \[3.5,\quad -2\frac{1}{2} ,\quad 0,\quad -1,\quad +0.5,\quad -\left(-1\frac{1}{2}\right)  \]
\end{example}

\begin{solution}
    所给各数的相反数分别是：
    \[-3.5,\quad +2\frac{1}{2} ,\quad 0,\quad +1,\quad -0.5,\quad -1\frac{1}{2}   \]
    把它们分别用数轴上的点表示为：
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex]
  \draw [fill=black] (0,0) circle(1.5pt) node[below=3pt]{$O$};
  \draw [fill=black] (0,0) circle(1.5pt) node[above=3pt]{$0$};
  \draw [fill=black] (1,0) circle(1.5pt) node[below=3pt]{$+1$};
  \draw [fill=black] (-1,0) circle(1.5pt)node[below=3pt]{$-1$};
  \draw [fill=black] (-.5,0) circle(1.5pt)node[above=3pt]{$-0.5$};
  \draw [fill=black] (.5,0) circle(1.5pt)node[above=3pt]{$0.5$};
  \draw [fill=black] (1.5,0) circle(1.5pt)node[above=3pt]{$-\left(-1\frac{1}{2}\right)$};
  \draw [fill=black] (-1.5,0) circle(1.5pt)node[above=3pt]{$-1\frac{1}{2}$};
  \draw [fill=black] (-3.5,0) circle(1.5pt)node[above=3pt]{$-3.5$};
  \draw [fill=black] (3.5,0) circle(1.5pt)node[above=3pt]{$3.5$};
  \draw [fill=black] (2.5,0) circle(1.5pt) node[below=3pt]{$+2\frac{1}{2}$};
  \draw [fill=black] (-2.5,0) circle(1.5pt)node[below=3pt]{$-2\frac{1}{2}$};
        \draw[->] (-4,0)--(4,0)node [right]{$X$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

显然，它们在数轴上从左到右的顺序是：
\[-3.5,\quad -2\frac{1}{2},\quad -1\frac{1}{2},\quad -1,\quad -0.5,\quad 0,\]
\[+0.5,\quad +1,\quad +1\frac{1}{2},\quad +2\frac{1}{2},\quad +3.5\]
\end{solution}



从这两个例子可以看出：
\begin{blk}{}
\begin{itemize}
    \item 正数和负数，确可以表示“相反意义”．说明量的“相反方向”．而数零是它们的界限．
    \item 互为相反的一对数，在数轴上总是表示到
原点距离相等的一对点．而零与它的相反数都
用原点表示．
\end{itemize}    
\end{blk}


    既然有理数的正、负号是表示“相反意义”的两
个方向，因此，如果用字母$a$表示一个有理数，那么
它的相反数当然就应该用$-a$表示了．显然，$-a$的相
反数，就可以表示成$-(- a)$，结果自然就有：
$-(-a)=+a$．因为，$-a$的相反数只能是$+a$．
    
\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 试列举出两个正、负有理数来．并写出它们的相反数．同
    时在数轴上标出来．
    \item 如果$a$表示一个负有理数，那么$-a$表示什么数？这两个
    数在数轴上用一对点表示出来后，有什么特征？
    \item 一个有理数$m$，与$(-2)$正好相消，即$(-2)+(m)=0$，
    你知道$m$的值吗？
    \item 如果$(+5) +x=0$，那么$x$应是什么数？
\end{enumerate}    
\end{ex}    
  
在一些实际问题中，往往又不考虑“量的方向”，
如：在研究一辆汽车行驶中的耗油量问题中，就只要
计算这辆汽车行驶的里程数，而不需要去追究向什么
方向行驶．这就是说，这种问题中的“路程”，不需
要用“有方向”的正、负数来表示，只要考虑“距
离”．

    对于有理数来说，如果仅考虑它在数轴上的点与
原点之间的距离，而不考虑表示这个数的点在原点的
左边还是右边时，我们引入绝对值的概念．

    我们规定：\textbf{任一个有理数$a$的绝对值是一个非负
数}，记作$|a|$．

\begin{blk}{}
\begin{itemize}
    \item 正数的绝对值，就是它本身的值．
    \item 负数的绝对值，就是它的相反数的值．
    \item 零的绝对值，就是0．
\end{itemize}
\end{blk}

例如：$\left|+2\frac{1}{2}\right|=2\frac{1}{2}$，$|0|=0$，$|-5|=5$，$|-0.7|=0.7$等．

一般地，对任一个有理数$a$，其绝对值可以表示
成：
\[|a|=\begin{cases}
    a, & \text{当$a$是正数时}\\
    0, & \text{当$a$是0时}\\
    -a, & \text{当$a$是负 数时}\\
\end{cases}\]

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item （口答）填写下表：
    \begin{center}
\begin{tabular}{c|cccccc}
    \hline
$a$ & $+7.2$ & $-\frac{3}{11}$ & 0& $-1012$ &$+1\frac{2}{11}$ &$-1\frac{2}{11}$\\
   \hline
$|a|$\\
    \hline
\end{tabular}       
    \end{center}
\item 如果$|a|=4$，试问：$a$表示何数？
\item 你能说出“任一对相反数”的绝对位有什么关系吗？并举
  出两例．
\end{enumerate}
\end{ex}

\section*{习题1.2}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题1.2}
\begin{enumerate}
    \item 用正、负数表示下列各量：
    \begin{enumerate}
        \item 珠穆朗玛峰高出海面8848.13米.
        \item 太平洋最深处低于海面11022米．
        \item 我国新疆吐鲁番盆地低于海面154米．
        \item 北京某地高出海平面47.2米．
    \end{enumerate}
    \item 一座铁桥的长度测量了五次，各次测得的数据是：8015
    米，8009米，8012米，8013米，8011米．
    \begin{enumerate}
        \item 试求这五次测量的平均值．
        \item 如果以“平均值”为基准，试用正、负数表示出各次测量的数值与平均值的差．
    \end{enumerate}
\item 写出下列各数的相反数：
\[7,\quad \frac{1}{2},\quad -5,\quad -1\frac{1}{7},\quad 0,\quad 0.7,\quad x,\quad -y  \]
\item 根据“有理数a的相反数$(- a)$的相反数$-(-a)$
就是a”的原理，写出下列各式的结果：
 \begin{enumerate}
     \item $-(-2)=\underline{\qquad\qquad}$；
     \item $-\left(-1\frac{1}{4}\right)=\underline{\qquad\qquad}$；
     \item $-[-(0.6)]=\underline{\qquad\qquad}$；
     \item $-[-(-m)]=\underline{\qquad\qquad}$．
 \end{enumerate}
\item 把下列各数填入应属的集合内：
\[-5,\quad -\frac{1}{3},\quad 0.34,\quad 0,\quad -1,\quad -3\frac{2}{5},\quad \frac{1}{5},\quad 20\frac{1}{2},\quad -0.001,\quad 10^{10} \]
\[\text{有理数集合}\begin{cases}
    \text{正有理数集合：}\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}\\
    \{0\}： \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}\\    
    \text{负有理数集合：}\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}\\
\end{cases}\]


\item 在数轴上将下列有理数用点表示出来：
\begin{enumerate}
    \item $3,\quad -4.1,\quad 1,\quad -\frac{4}{3},\quad 0,\quad 2\frac{1}{2},\quad -1\frac{1}{2}$
    \item $-2.5$的相反数，$0.75$的相反数，0的相反数．
    \item $7500$，$-6250$，$-3750$，$200$．
    （数轴上的单位长要恰当选取，为作图方便，可以取一
格为1000）
\end{enumerate}


\item 互为相反的一对有理数有什么特征性质？举例说明．
\item 运用互为相反数的特征，回答下列各题：
\begin{enumerate}
    \item 如果$(-7) +m=0$，试问：$m$为何数？
    \item 如果$x+\left(3\frac{1}{7}\right)=0$，试问：$x$为何数？
    \item 如果$0+y=0$，试问：$y$为何数？
\end{enumerate}


\item 如果已知有理数$a$与$b$之间有关系“$a+b=0$”，那么，
你能知道$a$与$b$是什么样的有理数吗?
\item 写出下列各有理数的绝对值：
\[-\frac{1}{4},\quad -0.001,\quad 0,\quad +\frac{1}{100},\quad 99\frac{1}{9}\]

\item 如果已知$|x|= 2.7$，那么$x$是什么数？
\item 在数轴上，到原点的距离等于8个单位长的点，应该
表示什么有理数？
\item 填满下列表格：
\begin{center}
    \begin{tabular}{ccc}
\hline
有理数&它的相反数&绝对值\\
\hline
$a$  &   $-a$   &   $|a|$\\ 
$+4$  &   $-4$   &   $4$\\ 
  &   $+0.01$   &   $0.01$\\ 
  &      &   $\frac{1}{6}$\\ 
$0$  &      &   \\ 
$-1.2$  &      &   \\ 
  &   $+\frac{8}{9}$   &   \\ 
  &      &   $3\frac{101}{111}$\\ 
\hline
    \end{tabular}
\end{center}

\item 填空：
\begin{enumerate}
    \item 绝对值比5小的整数有（\qquad \qquad ）．
    \item 绝对值比4小的负整数有（\qquad \qquad ）．
    \item 绝对值比3小的非负整数有（\qquad \qquad ）．
    \item 绝对值比6小的自然数有（\qquad \qquad ）．
\end{enumerate}


\item 计算：
\begin{enumerate}
    \item $|0|\x \left|-11\frac{10}{11}\right|+|-0.5|$
    \item $|-4.5|\x\left|+\frac{2^2}{3}\right|$
    \item 已知$(-5)+x=0$，$y+(+25)=0$，试求：$x^2+y$的值．
\end{enumerate}

\item 你能说出符合下列条件的字母都表示什么样的有理数
吗？
\[|a|=a,\qquad |a|=-a,\qquad \frac{|x|}{x}=1,\qquad \frac{|x|}{x}=-1  \]

\item 算一算：
\begin{enumerate}
    \item $|a|+|-(-a)|-|-a|-|-(-|-a|)|$ （$a$为任一有理数）
    \item $\frac{x}{|x|}-\frac{|x|}{x}$ （$x$是一个非零有理数）．
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\section{有理数的运算}
引进负数以后，我们就把数的范围扩充到了有理
数系.这样，在应用中就可以统一地处理互为相反意
义的数量问题；在运算上又可以解决在小学算术中减
法“不够减”的矛盾.本节将详细讨论有理数的运算
法则，并运用这些法则进行计算．

    这里还要特别指出：我们在提出有理数的各种运
算法则的时候，都是根据相反数的意义及特征性质
 $ (-a) + ( + a)=(+a)+(-a) = 0$，并遵从“运算通
性”的要求，首先讨论这些运算法则的合理性，然后，
才去使用这些法则，进行计算．这就是说：引进负数
以后，对于任何有理数的加法、乘法运算，我们仍然
要求它们满足交换律、结合律和分配律，而且，仍然
要求数0与1具有它们原来的运算特性．只有这样，
我们所规定的运算法则，才能是合理的，也只有明确
了这些法则规定是合理的以后，才能进一步应用这些
法则，有效地进行有理数的计算．

\subsection{有理数的加法与减法}
\subsubsection{加法}

在有理数范围内，互为相反数$+a$与$-a$的特征性
质是$(+a) + (-a)=(-a) + (+a) = 0$，反过来说，
假如有一对有理数$a,  b$，它们的总效果$a+b= 0$，我
们就说：$a,  b$互为相反数，即$a=-b$或$b=-a$，显
然，有理数$(a + b)$与$-(a + b)$也是互为相反数．

    根据相反数的特征性质，以及要求有理数加法满
足交换律、结合律；要求数0与1仍保持它们在运算
中的特性的原则下，我们首先讨论加法运算法则规定
的合理性，然后再去应用法则．

    两个有理数的加法运算，可分三种情形讨论如
下：设$a,  b$分别是正值．
\begin{enumerate}
    \item 两个正有理数相加，即$(+ a)+(+b)$．
    \item 两个负有理数相加，即$(-a)+(-b)$．
    \item 一个正有理数与一个负有理数相加，即
  $(+a)+(-b)$
\end{enumerate}

    很显然，在1的情形，就是小学算术中的加
法．即
\[(+a)+(+b)=+(a+b)\]

例如：某单位收入五万元，后又收入2万元；显然一
共收入应是7万元，即：$(+5)+(+2)=+7$

    在情形2，我们可以根据相反数的特性及运
算通性继续有效来讨论：由于
\begin{align*}
    &\quad (-a) +(-b) + (+a) + (+b)\\
    &=[(-a)+(+a)]+[(-b)+(+b)]
          \tag{加法交换、结合律}\\
          &=0+0\tag{相反数的特性}\\
          &=0\tag{零的运算}
\end{align*}
而且，由加法运算的情形1知道，
\[(+a)+(+b)=+(a+b)\]

所以$( - a) + (- b) + (a + b) = 0$．
这就是说，$( - a)$与
$(-b)$的和，应等于$(a + b)$的相反数．

因此，我们规定：
\[(-a)+(-b)=-(a+b)\]

这样规定，既是合理的，也是符合实际的，例
如：某家公司，今年亏损2.5万元，而去年已经亏损
3万元，两年共亏损5.5万元．即：
\[(-2. 5)+(-3)=-(2.5+3)=-5.5\; (\text{万元})\]
综合情形1、2，可以得出：
\begin{blk}{}
    符号相同的两个有理数相加，只要将两数的绝对
    值相加，符号仍取原来的符号就行了．
\end{blk}

对于情形3：$(+a)+(-b)$，我们还需要根
据$a,b$（实际上就是$+a$，$-b$的绝对值）的大小分别讨
论．

例如：
\begin{align*}
    (+5)+(-3)&=(+2+3)+(-3)\\
    &=(5-3 + 3)+(-3)\\
    &=+(5-3)+[(+3)+(-3)]\tag{加法结合律}\\
                      &=+(5-3)+0 \tag{相反数的性质}\\
                      &=+(5-3)\tag{零的特性}\\
\end{align*}

一般地：当$a$大于$b$时，
\begin{align*}
    (+ a)+(-b)&=+(a-b + b)+(-b)\\
    &=+(a-b)+[(+b)+(-b)]    \tag{加法结合律}\\
 & =+(a-b) + 0 \tag{零的特性}\\
  &  =+(a-b)
\end{align*}

所以，在$a$大于$b$时，我们规定：
\[(+a)+(-b)=+(a-b),\qquad (\text{$a$大于$b$时})\]
这个规定也是符合实际的，比如：温度计上升10\oc，
又下降8\oc，其结果显然是上升2\oc，即：
     \[     (+10)+(-8)=+(10-8)=+2\]

    同样，当$a$小于$b$时，我们可以作类似讨论：
\begin{align*}
    (+ a)+(-b)&=(+ a)+[-(b-a+a)]\\
   & =(+ a)+[-(b-a)+( -a)]   \tag{情形2加法法则}\\
  &=[(+ a)+(-a)]+[-(b-a) ]  \tag{加法交换、结合律}\\
&=0+[-(b-a)]\tag{相反数的特性}\\
&=-(b-a)\tag{零的特性}\\
\end{align*}

     
    所以，在$a$小于$b$时，我们规定：
    \[(+a)+(-b)=-(b-a),\qquad (\text{$a$小于$b$时})\]
这样规定，同样是符合实际的，比如：气温上升10.5\oc，
接着又下降12\oc，其结果自然应该是下降1.5\oc，即
\[(+10.5)+(-12)=-(12-10.5)=-1.5\]

综合对情形3的讨论，可以得出：
\[(+a)+(-b)=\begin{cases}
    +(a-b),& (\text{$a$大于$b$时})\\
    -(b-a),& (\text{$a$小于$b$时})
\end{cases}\]
这就是说：

    \begin{blk}{}
        两个符号相反的有理数相加，只要将较大的绝对
值减去较小的绝对值，符号取绝对值较大的加数的符
号就行了．
    \end{blk}
    
\begin{example}
    运用加法法则，计算下列各题：
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
    \item $(+8)+\left(+1\frac{1}{2}\right)$；
    \item $(+5.02)+\left(+0.98\right)$；
    \item $(-10.1)+\left(-\frac{9}{10}\right)$；
    \item $\left(-1\frac{1}{3}\right)+\left(-2\frac{1}{4}\right)$；
    \item $(+99)+(-79)$；
    \item $(-101)+(+100.9)$；
    \item $(+57\frac{1}{3})+\left(-57\frac{1}{2}\right)$；
    \item $\left(+1\frac{1}{9}\right)+\left(-4\frac{1}{90}\right)$．
\end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{example}    
    
\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item $(+8)+\left(+1\frac{1}{2}\right)=+\left(8+1\frac{1}{2}\right)=+9\frac{1}{2}$
    \item $(+5.02)+\left(+0.98\right)=+6$
    \item $(-10.1)+\left(-\frac{9}{10}\right)=-\left(10.1+\frac{9}{10}\right)=-(10.1+0.9)=-11$
    \item $\left(-1\frac{1}{3}\right)+\left(-2\frac{1}{4}\right)=-\left(1\frac{1}{3}+2\frac{1}{4}\right)=-\left(\frac{16}{12}+\frac{27}{12}\right)=-\frac{43}{12}=-3\frac{7}{12}$
    \item $(+99)+(-79)=+(99-79)=+20$
    \item $(-101)+(+100.9)=-(101-100.9)=-0.1$
    \item $(+57\frac{1}{3})+\left(-57\frac{1}{2}\right)=-\left(57\frac{1}{2}-57\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{6}$
    \item $\left(+1\frac{1}{9}\right)+\left(-4\frac{1}{90}\right)=-\left(4\frac{1}{90}-1\frac{1}{9}\right)=-2\frac{81}{90}=-2\frac{9}{10}$
    
\end{enumerate}

\end{solution}

\begin{example}
计算：
\begin{enumerate}
    \item $(+2)+(-4)+(-8)$；
    \item $\left(-\frac{2}{3}\right)+\left(+\frac{4}{5}\right)+\left(-\frac{1}{3}\right)+\left(+1\frac{1}{5}\right)$；
    \item $(-x)+(-y)+x$；
    \item $(-a)+(-a)$．
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{analyze}
    遇到三个以上有理数相加时，可以按照
运算顺序从左到右逐次相加(运用结合律)；也可以
运用交换律、结合律将同号各数分别结合在一起相
加，再求总结果．
\end{analyze}


\begin{solution}
\begin{align*}
    (+2)+(-4)+(-8)&= [(+2)+(-4)]+(-8) \tag{结合律}\\
    &=(-2)+(-8) \tag{异号相加法则}\\
    &=-10 \tag{同号相加法则}
\end{align*}

\begin{align*}
  &\quad   \left(-\frac{2}{3}\right)+\left(+\frac{4}{5}\right)+\left(-\frac{1}{3}\right)+\left(+1\frac{1}{5}\right)\\
&=\left[\left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{1}{3}\right)\right]+\left[\left(+\frac{4}{5}\right)+\left(+1\frac{1}{5}\right)\right]  \tag{交换、结合律}\\
&=-\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)+\left[+\left(\frac{4}{5}+1\frac{1}{5}\right)\right]  \tag{同号加法法则}\\
&=(-1)+(+2)=+1  \tag{异号加法法则}
\end{align*}

\begin{align*}
    (-x)+(-y)+x  &= [(-x)+x]+(-y)  \tag{交换、结合律}\\
    &=0+(-y) \tag{相反数的性质}\\
&=-y \tag{零的特性}
\end{align*}

\begin{align*}
    (-a)+(-a) &= (-1)a+(-1)a  \tag{相反数的意义}\\
    &=[(-1)+(-1)]a  \tag{分配律}\\
    &=-2a  \tag{同号加法法则}\\
\end{align*}
\end{solution}

总起来说，有理数加法法则是：

\begin{blk}{有理数加法法则}
\begin{enumerate}
    \item 同号相加：
    \[\begin{split}
        (+a)+(+b)&=+(a+b)\\
      (-a)+(-b)&=-(a+b)
    \end{split}\]
    \item 异号相加：
    \[(+a)+(-b)=\begin{cases}
        +(a+b),& a>b\\
-(b-a),&a<b
    \end{cases}\]
    \item 相反数相加：
    \[(+a)+(-a)=0\]
    \item 与零相加：
    \[\begin{split}
        (+a)+0&=0+(+a)=+a\\
      (-a)+0&=0+(-a)=-a\\
    0+0&=0
    \end{split}\]
\end{enumerate}    
其中的$a,b$都是正数．
\end{blk}
      
\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item （口答）计算：
\[(+7)+(-5),\qquad (-7)+(+5),\qquad (-7)+(-5) \]
\[\left(+\frac{1}{3}\right)+\left(+\frac{1}{2}\right),\; \left(+\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right),\; \left(-\frac{1}{3}\right)+\left(+\frac{1}{2}\right) ,\; \left(-\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right) \]
\[(+0.8)+(-1.6),\; (-0.8)+(-1.6),\; (-0.8)+(+1.6),\; (+0.8)+(+1.6) \]
\[2+\left(-1\frac{1}{5}\right),\;\;(-2)+\left(-1\frac{1}{5}\right),\;\;(-2)+\left(+1\frac{1}{5}\right),\;\; 0+\left(-1\frac{1}{5}\right)\]
\item 计算：
\[1+\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{6}\right),\qquad \left(-\frac{1}{5}\right)+0+\left(+\frac{8}{15}\right)+\left(-\frac{4}{15}\right) \]
\[\left(-1\frac{1}{3}\right)+\left(+\frac{2}{3}\right)+0+\left(-\frac{2}{3}\right)+\left(+\frac{4}{3}\right),\qquad a+a+(-a) \]
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsubsection{减法}

减法是加法的\textbf{逆运算}．比如$(-5)-(+3)$的问
题，就是要求一个数$[?]$，使得$[?]+(+3)=(-5)$．
也就是说，$(-5)-(+ 3)$是一个数$[?]$，这个数能
够使得$[?]+(+3)=(-5)$成立．即
$$[(-5)-(+3) ]+(+3)=(-5)$$

    但我们由有理数加法法则可以知道，只有
\[(-8)+(+3)=-5\]
显然得出：
\begin{equation}
    (-5)-(+3)=-8
\end{equation}

又由加法可知：
\begin{equation}
    (-5)+(-3)=-8
\end{equation}

比较(1.1)、(1.2)两式，不难得出：
     \[ (-5)-(+3)=(-5)+(-3)=-8\]
这就是说：有理数$(-5)$减去$(+ 3)$，就等于$(-5)$
加上$(+ 3)$的\textbf{相反数}$(-3)$．减法就转化成了加法
计算．

    同样地，$\because\quad (+3)+(-7)=-4$
    \begin{equation}
     \therefore\quad    (-4)-(-7)=+3
    \end{equation}    
    又由加法可知：
    \begin{equation}
        (-4)+(+7)=+3
    \end{equation}
    比较(1.3)、(1.4)两式，又可以得出：
    \[ (-4)-(-7)= (-4)+(+7)=+3\]
    即，$(-4)$\textbf{减}去$(-7)$就等于$(-4)$\textbf{加}上$(-7)$
    的\textbf{相反数}$(+7)$．这里又把减法转化为加法了．

        由此，可以归纳出\textbf{有理数减法的法则是：}

        \textbf{减去一个有理数，就等于加上这个有理数的相反
    数}．若用宇母表示有理数，则有理数$x$，$y$的减法法
    则是：
    
\begin{center}
    \begin{tikzpicture}[>=latex]
 \node at (0,0) {\LARGE $ x-y=x+(-y)$}  ;
 \draw[dashed, <->] (-1.5,.3)--(-1.5,1)--node[above]{减法化加法}(.7,1)--(.7,.3);
 \draw[dashed, <->] (-1,-.3)--(-1,-1)--node[below]{换成相反数}(2,-1)--(2,-.3);
    \end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{example}
    利用减法法则，计算下列各题：
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
        \item $(+9)-(-5)$
        \item $\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(+\frac{1}{2}\right)$
        \item $(+0.7)-(-0.21)$
        \item $0-(+8)$
        \item $(-5)-0$
        \item $(-2.7)-(+5)$
        \item $\left(-1\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{3}\right)$
        \item $(-a)-(-a)$
    \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
        \item $(+9)-(-5)=(+9)+(+5)=+14$
        \item $\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(+\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{3}{4}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)=-\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{4}=-1\frac{1}{4}$
        \item $(+0.7)-(-0.21)=(+0.7)+(+0.21)=+0.91$
        \item $0-(+8)=0+(-8)=-8$
        \item $(-5)-0=(-5)+0=-5$
        \item $(-2.7)-(+5)=(-2.7)+(-5)=-7.7$
        \item $\left(-1\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{3}\right)=\left(-1\frac{1}{2}\right)+\left(+\frac{1}{3}\right)=-\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{3}\right)=-\frac{7}{6}$
        \item $(-a)-(-a)=(-a)+(+a)=0$
    \end{enumerate}    
\end{solution}

\begin{example}
    计算：
\begin{enumerate}
    \item $(+1)-\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{1}{6}\right)$
    \item $(+1)-\left(+\frac{1}{2}\right)-\left(+\frac{1}{3}\right)-\left(+\frac{1}{6}\right)$
    \item $(-b)-(+b)-(-b)-(+a)$
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{analyze}
遇到几个有理数连减时，仍可从左到右
按顺序逐次相减——也就是逐次加上各数的相反数．
\end{analyze}

\begin{solution}
 \begin{align*}
  &\quad   (+1)-\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{1}{6}\right)\\
    &= (+1)+\left(+\frac{1}{2}\right)+\left(+\frac{1}{3}\right)+\left(+\frac{1}{6}\right)\tag{减法法则}\\
&=(+1)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)\tag{同号相加法则}\\
&=+2
 \end{align*}   

 \begin{align*}
    &\quad    (+1)-\left(+\frac{1}{2}\right)-\left(+\frac{1}{3}\right)-\left(+\frac{1}{6}\right)\\
    &=(+1)+\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(+\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{6}\right)\tag{减法法则}\\
    &=(+1)+\left[ \left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{3}\right) +\left(-\frac{1}{6}\right)\right]  \tag{加法结合律}\\
&=(+1)+\left[-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)\right]\tag{同号相加法则}  \\
&=(+1)+(-1)=0  \tag{相反数性质}
 \end{align*}   

 \begin{align*}
    (-b)-(+b)-(-b)-(+a)&=(-b)+(-b)+(+b)+(-a)\tag{减法法则}\\
    &=(-b)+[(-b)+(+b)]+(-a)  \tag{加法结合律}\\
    &=(-b)+0+(-a) \tag{相反数意义}\\
&=(-b)+(-a) \tag{零的特征}\\
&=-(a+b)  \tag{同号相加法则}    
 \end{align*}   
\end{solution}

\begin{ex}
  \begin{enumerate}
      \item 口答下列各题：
\[(+3)-(+5),\quad (+3)-(-5),\quad (-3)-(+5),\quad (-3)-(-5) \]
\[(+5)-(+2.5),\quad  (+5)-(-2.5),\quad (-5)-(-2.5),\quad (-5)-(+2.5)\]
\[\left(-7\frac{1}{2}\right)-\left(-7\frac{1}{2}\right),\;\; \left(-7\frac{1}{2}\right)-\left(+7\frac{1}{2}\right),\;\; \left(-7\frac{1}{2}\right)-0,\;\; 0-\left(-7\frac{1}{2}\right) \]
\[(-a)-(+a),\quad (-a)-(-a),\quad (+a)-(-a),\quad 0-(-a)\]

\item 计算：
\begin{enumerate}
    \item $(+2.1)-(-0.9)-1$
    \item $(-2.1)-(-0.9)-0-(+7)$
    \item $\left(-1\frac{1}{5}\right)-\left(-\frac{3}{5}\right)-\left(+\frac{1}{5}\right)$
    \item $(+a)-(0.625)-(+0.025)-(-0.415)-(+0.015)-(-a)$
\end{enumerate}
  \end{enumerate}  
\end{ex}

通过有理数减法的学习，我们就进一步明确了：
引进负数后，“不够减”的矛盾就解决了，\textbf{在有理数
范围内，减法运算也是畅通无阻的}．


\subsection{代数和}
    有理数的减法运算都可以转化为加法进行，这样
一来，在有理数范围内，“求和”与“求差”的问题
就可以统一称为“求和”的问题了．比如：

    算式$(+ 3)+(-7)-(-5)+(+9)-(+2)$中，
只有加、减运算，利用减法法则就可以统一写成“求
和”的式子：
\begin{equation}
    (+ 3)+(-7)+(+5)+(+9)+(-2)
\end{equation}

象这样，含有加、减法运算的式子，都能转化成
仅含有加法运算的式子，我们称作“代数和”．式
  (1.5)就是代数和．

    在代数和中，被加号“+”隔开的每一部分，叫
做一项，如式(1.5)中，$(+3)$, $(-7)$, $(+ 5)$,
  $(+9)$, $(-2)$都是代数和(1.5)的一项．

    求各项的代数和，就是对各项进行加法运算．

    在计算两项以上的代数和时，有效地应用加法的
交换律、结合律，先将所有的正数项、所有的负数项
分别求和，再将这两部分相加求其总和，可以使计算
大为简便．

\begin{example}
计算：$(+3)+(-7)+(+5)+(+9)+(-2)+(-8)$
\end{example}

\begin{solution}
\begin{align*}
    \text{原式}&= [(+3)+(+5)+(+9)]+[(-7)+(-2)+(-8)] \tag{交换、结合律}\\
    &=(+17)+(-17) \tag{同号加法法则}\\
    &=0 \tag{相反数的特性}
\end{align*}
\end{solution}

\begin{example}
    计算：$(-6.5)-(-7.3)-(-3.7)+(-12.5)-\left(-\frac{1}{2}\right)$
\end{example}

\begin{solution}
    \begin{align*}
    \text{原式}&= (-6.5)+(+7.3)+(+3.7)+(-12.5)+\left(+\frac{1}{2}\right) \tag{减法法则}\\
    &=[(-6.5)+(-12.5)]+\left[(+7.3)+(+3.7)+\left(+\frac{1}{2}\right)\right] \tag{交换、结合律}\\
    &=(-19)+\left(+11\frac{1}{2}\right) \tag{同号相加法则}\\
    &=-7\frac{1}{2} \tag{异号相加法则}
\end{align*}
\end{solution}

在代数和式子中，经常省去各项之间的加号“$+$”
及第一项前的正号“$+$”．比如例1.21中的代数和，可
以写成：$3-7+5+9-2$．读作：“正3负7正5正
9负2的和．”或者读成：“3减7加5加9减2”．

同样，
例1.22中的代数和，可以写成：$-6.5+7.3+3.7-12.5+\frac{1}{2}$
读作：“负6.5正7.3正3.7负12.5正$\frac{1}{2}$的和”．或者读成：“负6.5加7.3加3.7减12.5
加$\frac{1}{2}$”．




\begin{example}
 计算代数和：
 \[\left(+\frac{3}{4}\right)+\left(+\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{3}{8}\right)+\left(-\frac{1}{4}\right)+\left(-\frac{1}{8}\right)  \]   
\end{example}


\begin{solution}
      \begin{align*}
    \text{原式}&=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-\frac{3}{8}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}  \tag{简化代数和}\\
    &=\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)\\
    &=\frac{5}{4}-\frac{6}{8}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
\end{align*}  
\end{solution}

\begin{ex}
计算代数和：
\begin{enumerate}
    \item $0+(-24)+(-5)+7$
    \item $-7.2-0.9-5.6+1.7$
    \item $13\frac{4}{5}+0-2\frac{2}{5}-8-6\frac{1}{5}$
    \item $-\frac{7}{5}-1\frac{1}{5}-2\frac{3}{5}+3\frac{1}{5}+2-\frac{4}{5}+a$
\end{enumerate} 
\end{ex}

\begin{example}
    设有有理数$a,b,c,d$，说明等式：$a-b+c-d=a-(b-c+d)$成立．
\end{example}

\begin{solution}
\begin{align*}
    a-b+c-d&= a+(-b)+c+(-d) \tag{代数和原意}\\
    &=a+ (-1)\cdot b+(-1)\cdot (-c)+(-1)\cdot d  \tag{相反数意义}\\
&=a+(-1)(b-c+d) \tag{分配律}\\
&=a-(b-c+d)  \tag{相反数意义}    
\end{align*}    
$\therefore\quad a-b+c-d=a-(b-c+d)$
\end{solution}

这就告诉我们：在计算代数和，遇到需要添加或
去掉括号时，要遵守这样的规则：

\begin{blk}{}
   在紧接负号后边添加括号时，括到括号里的每一
项，都要改变符号；而要脱掉紧接负号后边的括号
时，又必须将括号与紧接括号前边的负号都去掉，并
将原括号内的各项都改变符号．
\end{blk}
   


\begin{example}
    计算：
\begin{enumerate}
    \item $2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}$
    \item $-1\frac{3}{4}-\left[\frac{1}{2}-\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-1\frac{3}{8}\right)+\frac{5}{8}\right]$
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{solution}
    可以灵活运用添、去括号的规则进行计算．
\[ \begin{split}
    2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}&=2-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)\\
    &=2-1=1
\end{split}  \]
\[ \begin{split}
    &\quad -1\frac{3}{4}-\left[\frac{1}{2}-\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-1\frac{3}{8}\right)+\frac{5}{8}\right]\\
    &=-1\frac{3}{4}-\left[\frac{1}{2}-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}+1\frac{3}{8}+\frac{5}{8}\right]\\
    &=-\frac{7}{4}-\bcancel{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}+\bcancel{\frac{1}{2}}-\frac{11}{8}-\frac{5}{8}\\
    &=-\frac{4}{4}-\frac{16}{8}\\
    &=-1-2=-3
\end{split}  \]
\end{solution}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 先转化为加法，再计算：
    \begin{enumerate}
        \item $\left(3\frac{1}{3}\right)^2-\left(+\frac{5}{6}\right)-\left(1\frac{1}{4}\right)^2$
        \item $\left(-5\frac{7}{12}\right)+\left(-1\frac{3}{4}\right)-\left(-1\frac{1}{4}\right)+5\frac{7}{12}-27$
    \end{enumerate}
    \item 计算代数和：
    \begin{enumerate}
        \item $27.5-\left(-1-\frac{3}{7}-5\right)+\frac{4}{7}$；
        \item $-1.5-[1.4-(-3.6)-4.3+(-5.2)]$．
    \end{enumerate}
    \item 在括号内填上适当的项，使等式成立：
    \[a+b-c+d=a+b-(\qquad \qquad )\]
       \[ a-b+c+d=a-(\qquad \qquad )     \]
\end{enumerate}    
\end{ex}

\subsection{有理数的乘法与除法}

    对于有理数的乘法和除法，我们仍然是根据相反
数的特征性质$(-a)+(+a)=0$，以及要使“运算通
性”(指加、乘法满足交换、结合和分配律；数0与
1仍有原先的运算特性)继续有效的原则下，我们去
讨论它的运算法则如何规定才合理？在此基础上，再
去进一步学习和运用这些法则进行计算．

\subsubsection{乘法}
两个有理数的乘法运算，仍可分为三种情形进行
讨论：仍设$a,  b$是两个正有理数．
\begin{enumerate}
    \item 两个正有理数相乘，即$(+a) \x (+ b)$；
    \item 一个正，一个负有理数相乘，即$(+a) \x
(-b)$；
\item 两个负有理数相乘，即$(-a) \x(-b)$．
\end{enumerate}

    对于情形1，很显然，两个正有理数相乘，
就是与小学算术中所学乘法是一样的，即
\[(+a)\x (+b)=ab \]
例如：$\left(+\frac{1}{3}\right)\x \left(+\frac{2}{5}\right)=\frac{1}{3}\x \frac{2}{5}=\frac{2}{15}$

对于情形2，我们作以下的讨论：

由于$(+ b) +(-b)= 0$以及$(+a) \x (+b) =ab$
已经知道，再利用我们约定应该继续有效的“数系运
算通性”，就可以得出：
\begin{align*}
    (+a) \x (+b) +(+a) \x (-b) &=(+a)[(+b)+(-b)] \tag{分配律}\\
    &=(+a)\x 0  \tag{相反数的特性}\\
    &=0 \tag{零的特性}
\end{align*}

这就是说，$ab +(+ a) \x(-b)=0$．

    可见，$(+a) \x (-b)$的积与$ab$应是互为相反
数，因而，我们就应该规定：
\[(+a)\x (-b)=-ab \]

同样的讨论，可以得出：\[(-a)\x (+b)=-ab \]

又由于，要使乘法运算满足交换律，就应该有以
下合理的规定：
\[\begin{split}
    (+a) \x(-b)&=(-b) \x(+ a)\\
&=(-a) \x(+ b)\\
&=(+ b) \x(-a)=-ab
\end{split}\]

    所以，\textbf{两异号(一负一正)有理数相乘，将绝对
值相乘，符号取负．}

例如：$a\x(-2)=-2a$
\[(+5)\x \left(-\frac{3}{5}\right)=-\left(5\x \frac{3}{5}\right)=-3  \]
\[(-2)\x \left(+\frac{1}{3}\right)=2\x \left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3} \]


对于情形3，两个负有理数相乘，我们也可
以作类似讨论：
\begin{align*}
  &\quad   (+ a) \x(-b)+(-a) \x(-b)\\
   & =[(+ a)+(-a) ] \x(-b) \tag{分配律}\\
    &=0\x(-b) \tag{相反数的特性}\\
   & =0   \tag{零的特性}
\end{align*}
即：$(+ a) \x(-b)+(-a) \x(-b)=0$．

    也就是说，$- ab$与$(-a) \x(-b)$应是互为相反
数，因而乘积$(-a) \x(-b)$就是$-(-ab)=+ ab$．

    所以，两个负有理数相乘时，应该规定：
    \[(-a)\x (-b)=+ab \]

    这就告诉我们：\textbf{两个负有理数相乘，将绝对值相
乘，符号取正．}

例如：$(-b)\x(-3)=+(b\x 3)=+3b$
$$\left(-\frac{3}{4}\right)\x\left(-\frac{1}{2}\right)=+\left(\frac{3}{4}\x \frac{1}{2}\right)=+\frac{3}{8}$$

综合情形1、2、3，可得到两个
非零有理数的乘法法则：\textbf{将绝对值相乘，而积的符号
是：同号得正，异号得负．}
    再加上我们一开始就约定继续有效的
“零的运算特性”：
\[\begin{split}
    (+a)\x 0&=0\x (+a)=0\\
    (-a)\x 0&=0\x (-a)=0\\
0\x 0&=0
\end{split}\]
这样，对任意两个有理数都可以进行乘法运算了．
    
\begin{example}
    计算下列各题：
\begin{enumerate}
    \item $(+7)\x (+10),\quad (-7)\x (+10),\quad (+7)\x (-10),\quad (-7)\x (-10)$
    \item $(-0.5)\x (+0.4),\qquad (-0.5)\x (-0.4)$
    \item $(-a)\x (-1),\quad (-a)\x (-2),\quad (-a)\x (+5),\quad (-a)\x 0$
    \item $\left(-\frac{3}{7}\right)\x \left(+1\frac{1}{6}\right),\qquad \left(-\frac{3}{7}\right)\x \left(-1\frac{1}{6}\right)$
    \item $(+1.5)\x \left(-2\frac{2}{3}\right),\quad (-1.5)\x \left(-2\frac{2}{3}\right),\quad (-1.5)\x \left(-\frac{101}{111}\right)\x 0$
\end{enumerate}

\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item $(+7)\x (+10)=70,\qquad (-7)\x (+10)=-70$ 
\[(+7)\x (-10)=-70,\qquad (-7)\x (-10)=70\]
\item $(-0.5)\x (+0.4)=-0.2,\qquad (-0.5)\x (-0.4)=0.2$
\item $(-a)\x (-1)=a,\qquad (-a)\x (-2)=2a$  $$(-a)\x (+5)=-5a,\qquad (-a)\x 0=0$$
\item $\left(-\frac{3}{7}\right)\x \left(+1\frac{1}{6}\right)=-\left(\frac{3}{7}\x\frac{7}{6}\right)=-\frac{1}{2},\qquad \left(-\frac{3}{7}\right)\x \left(-1\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{2} $
\item  $(+1.5)\x \left(-2\frac{2}{3}\right)=-\left(\frac{3}{2}\x\frac{8}{3}\right)=-4$
\[(-1.5)\x \left(-2\frac{2}{3}\right)=4,\qquad (-1.5)\x \left(-\frac{101}{111}\right)\x 0=0 \]
\end{enumerate}

\end{solution}  

\begin{example}
    计算：
\begin{enumerate}
    \item $(-7) \cdot(+3) \cdot(+5) \cdot(-2) \cdot\left(-\frac{1}{21}\right)$
    \item 
    $(+0.1) \cdot(-2.5) \cdot(+4) \cdot(-9) \cdot(+100)$
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{analyze}
    求两个以上有理数的乘积时，一般应按
    顺序从左到右两两逐个计算，但，利用乘法的交换、
    结合律，可以简化计算．
\end{analyze}

\begin{solution}
\begin{align*}
  &\quad   (-7) \cdot(+3) \cdot(+5) \cdot(-2) \cdot\left(-\frac{1}{21}\right)\\
  &=\left[(-7)\cdot (+3)\cdot \left(-\frac{1}{21}\right)\right]\cdot [(+5)\cdot (-2)]\tag{交换、结合律}\\
  &=\left[(-21)\cdot \left(-\frac{1}{21}\right)\right]\cdot [(-10)] \tag{异号相乘法则}\\
  &=(+1)\cdot (-10) \tag{同号相乘法则}\\
  &=-10 \tag{1的特性}
\end{align*} 
\begin{align*}
    &\quad (+0.1) \cdot(-2.5) \cdot(+4) \cdot(-9) \cdot(+100)\\
    &=[(+0.1)\cdot (+100)\cdot(-9)]\cdot[(-2.5)\cdot (+4)]\\
    &=(-90)\cdot (-10)=+900
\end{align*}    
\end{solution}

从例1.27两题的计算结果中，你能发现“几个非零
有理数连乘时，乘积的符号与负乘数的个数之间”有
什么规律吗？

再观察两个例子：
\[(-1)\cdot (-2)\cdot (+3)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=+1  \]
\[(-1)\cdot (-2)\cdot (-3)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-1  \]

可见，在计算若干个非零有理数的连乘积时，只
要将绝对值相乘，而乘积的符号，可以直接由“负乘
数的个数”来确定，即：

\begin{blk}{}
    当负乘数有奇数个时，乘积为负；

 当负乘数有偶数个时，乘积为正．
\end{blk}
        
显然，若干个有理数相乘，如果其中只要\textbf{有一个}
乘数\textbf{为零}，那么，根据零的特性，就知道所得乘积必
定是\textbf{零}，就不必再去逐一计算了．


\begin{example}
    计算：
\begin{enumerate}
    \item $\left(-1 \frac{1}{2}\right) \cdot\left(+\frac{2}{3}\right) \cdot\left(-\frac{7}{10}\right)\cdot\left(-1 \frac{4}{7}\right) \cdot\left(+2 \frac{1}{5}\right)$
    \item $\left(-\frac{273}{113}\right) \cdot\left(+99 \frac{19}{100}\right)\cdot\left[7 \frac{1}{8}+\left(-7 \frac{1}{8}\right)\right] \cdot\left(-29^{2}\right)$
    \item $2 \cdot(-a) \cdot(-5) \cdot(-b)$
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 原式中含有三个（奇数个）负乘数，因而其乘积为负．
    \[\begin{split}
        \text{原式}&=-\left(1\frac{1}{2}\x\frac{2}{3}\x\frac{7}{10}\x1\frac{4}{7}\x2\frac{1}{5}\right)\\
        &=-\frac{121}{50}=-2\frac{21}{50}
    \end{split}\]
    \item $\text{原式}=\left(-\frac{273}{113}\right) \cdot\left(+99 \frac{19}{100}\right)\cdot 0 \cdot\left(-29^{2}\right)=0$
    \item $2 \cdot(-a) \cdot(-5) \cdot(-b)=-10ab$
\end{enumerate}
\end{solution}

这里要指出，对于含有字母的算式，计算中只要
注意字母前所带的正、负号就可以，不必去讨论字母
本身是正数还是负数．

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 口答：
    \[(-2)\cdot (+15),\quad (-2)\cdot (-15),\quad -(-2)\cdot (-15),\quad -(+2)\cdot (-15)\]
\[(-0.25)\cdot (+8),\quad (-0.25)\cdot (-8),\quad -(+0.25)\cdot (-8),\quad(-0.25)\cdot [-(-8)] \]
\[(-1981)\cdot 0,\qquad 0\cdot\left(+11\frac{1}{22}\right)\]
\[\left(-\frac{4}{7}\right)\cdot \left(+1\frac{3}{4}\right),\quad \left(-1\frac{3}{4}\right)\cdot\left(-\frac{4}{7}\right),\quad -\left(-1\frac{3}{4}\right)\cdot\left(+\frac{4}{7}\right)\]

\item 计算：
\begin{enumerate}
    \item $(-1)\cdot(+1)\cdot (-1949)\cdot (-1)$
    \item $(-3)\cdot \left(+\frac{5}{6}\right)\cdot \left(-1\frac{4}{5}\right)\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)$
    \item $(-0.25)\cdot (-1.25)\cdot (+4)\cdot (-8)\cdot (+2000)\cdot (-0.001)$
    \item $[(-9)+(+7)-13]\cdot [4+(-7)]\cdot 9$
    \item $\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot \left(-8+\frac{2}{3}-1\frac{1}{3}\right)$
    \item $(-2)\cdot (-a)\cdot (+5)\cdot (+c)\cdot (-1)\cdot b$
\end{enumerate}
\end{enumerate}    
\end{ex}

\subsubsection{除法}
除法是乘法的\textbf{逆运算}． 比如：对于有理数$x,  y$
 $(y\ne 0)$来说，$x\div y$的问题，就是要求一个数$[?]$
使得$y\x[?]=x$．即$x\div y=[?]$．

为便于讨论，设$a,b$是正有理数值．

这样，$(+a) \div (+b)$就与算术中的除法是一样
的．显然$(+a)\div (+b)=+\frac{a}{b}$仍然是一个正有理数．
                    
例如：$(+8)\div\left(+\frac{1}{2}\right)=\frac{8}{\frac{1}{2}}=8\x 2=16$

$(-a) \div (-b)$如何进行运算呢？

因为由乘法法则知道，$(-b)\x \left(+\frac{a}{b}\right)=-a$，所以就有：
\[(-a) \div (-b)=+\frac{a}{b}\]

例如：$(-8)\div (-2)=+\frac{8}{2}=+4$

同样地，由于$(-b)\x \left(-\frac{a}{b}\right)=+a$及$(+b)\x \left(-\frac{a}{b}\right)=-a$，所以就有：

\[(+a)\div (-b)=-\frac{a}{b},\qquad   (-a)\div (+b)=-\frac{a}{b}\]

例如：$(+10)\div (-2.5)=-\frac{10}{2.5}=-4$
\[(-10)\div (+2)=-\frac{10}{2}=-5 \]

由以上，不难归纳出两个非零有理数的除法法则
应是：

\begin{blk}{}
    两个非零有理教相除时，将绝对值相除，而商的
符号是：同号相除得正，异号相除得负．
\end{blk}
    
\begin{example}
计算：
\begin{enumerate}
    \item $(-82)\div (+4),\qquad (-82)\div (-4)$
    \item $(+0.08)\div (-0.2),\qquad (-0.08)\div (-0.2),\qquad -(-0.08)\div (+0.2)$
    \item $\left(-\frac{3}{7}\right)\cdot \left(+1\frac{1}{3}\right)\div \left(-\frac{2}{7}\right),\qquad -\frac{4}{5}\div 4$
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{solution}
\[\begin{split}
    (-82)\div (+4)&=-20\frac{1}{2}\\
    (-82)\div (-4)&=+20\frac{1}{2}
\end{split}\]
\[\begin{split}
    (+0.08)\div (-0.2)&=-\frac{0.08}{0.2}=-0.4\\
    (-0.08)\div (-0.2)&=0.4\\
    -(-0.08)\div (+0.2)&=(+0.08)\div (+0.2)=+0.4
\end{split}\]
\[\begin{split}
    \left(-\frac{3}{7}\right)\cdot \left(+1\frac{1}{3}\right)\div \left(-\frac{2}{7}\right)&= \left(-\frac{3}{7}\x\frac{4}{3}\right) \div \left(-\frac{2}{7}\right)\\
    &=\left(-\frac{4}{7}\right)\div \left(-\frac{2}{7}\right)\\
    &=+\left(\frac{4}{7}\x\frac{7}{2}\right)=+2
\end{split}\]
\[-\frac{4}{5}\div 4=\left(-\frac{4}{5}\right)\div (+4)=-\left(\frac{4}{5}\x\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{5} \]
\end{solution}

又由于任一个非零有理数夕与零的乘积为零，即
$y\cdot 0=0\cdot y=0,\; (y\ne 0)$，所以，可得：
              \[0\div y=0\quad  (y\ne 0)\]
    这就是说：\textbf{零除以任一个非零有理数，其商仍为
零}．但特别注意：\textbf{零不能作除数}．


\begin{ex}
计算下列各题：
\begin{enumerate}
    \item $(-96)\div (+16),\qquad (-96)\div (-16),\qquad 0\div (-16)$
    \item $(-16.5)\div (-15),\qquad (+16.5)\div (-15),\qquad -(+16.5)\div (-1.5)$
    \item $(-0.08)\div(+0.002),\qquad -(-0.14)\div (-0.0007)$
    \item $\left(-\frac{3}{5}\right)\div \left(-\frac{2}{5}\right),\qquad \frac{7}{8}\div \left(-3\frac{1}{2}\right),\quad -\frac{2}{3}\div 2$
    \item $\left(-\frac{2}{3}\right)\div (+2) +0,\qquad \left[(-2)\div \frac{2}{7}\right]+\left[1\div\left(-1\frac{3}{4}\right)\right]$
    \item $0\div \left(-\frac{1980}{1981}\right),\qquad 1\div\left(-\frac{3}{4}\right),\qquad 1\div\left(-2\frac{1}{2}\right)$
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{blk}{}
    任一个非零有理数$x$，除以1所得的商数$\frac{1}{x}$，叫
做这个有理数$x$的倒数．
\end{blk}

例如：
\begin{itemize}
    \item $\because\quad 1\div 3=\frac{1}{3}$，\qquad $\therefore\quad \frac{1}{3}$叫做3的倒数．
    \item $\because\quad 1\div \frac{1}{4}=4$，\qquad $\therefore\quad 4$叫做$\frac{1}{4}$的倒数．
    \item $\because\quad 1\div \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{5}{3}$，\qquad  $\therefore\quad -\frac{5}{3}$叫做$-\frac{3}{5}$的倒数．
\end{itemize}

  显然，以上各例中，3也是$\frac{1}{3}$的倒数，$\frac{1}{4}$也是4
的倒数，$-\frac{3}{5}$也是$-\frac{5}{3}$的倒数；同时还可以发现，互为倒数的两个有理数，乘积总为1．

  一般地说：\textbf{非零有理数$x$与$\frac{1}{x}$是互为倒数}．而互为倒数的两个有理数，其特征性质是：
\[x\cdot \frac{1}{x}=1\]
  
  但要注意：由于零不能作除数，所以：
  \begin{blk}{}
    零没有倒数．
  \end{blk}
          
  有了倒数的概念以后，有理数的除法就可以转化
为乘法运算进行．乘、除法就可以统一成为乘法运
算．其具体方法是：

  \textbf{除以一个非零有理数，就等于乘以这个数的倒
数}．即：
\[a\div b=a\x \frac{1}{b}=\frac{a}{b},\qquad \text{$a,b$是有理数，且$b\ne 0$} \]

\begin{example}
    计算：
\begin{enumerate}
    \item $-2.5\div \frac{5}{6}\x \left(-\frac{1}{3}\right)$
    \item $[(-56)\div (-7)]+\left[(-2)\div \left(+\frac{1}{2}\right)\right]$
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{solution}
   \begin{align*}
    -2.5\div \frac{5}{6}\x \left(-\frac{1}{3}\right)&=-2.5\x \frac{6}{5}\x \left(-\frac{1}{3}\right) \tag{除法转化为乘法}\\
    &=+\left(\frac{5}{2}\x \frac{6}{5}\x \frac{1}{3}\right)    \tag{乘法法则} \\
    &=1 
   \end{align*}
   \begin{align*}
    [(-56)\div (-7)]+\left[(-2)\div \left(+\frac{1}{2}\right)\right]&=(-56)\x\left(-\frac{1}{7}\right)+(-2)\x(+2)\\
    &=(+8)+(-4)=4    
   \end{align*} 
\end{solution}


\begin{ex}
 \begin{enumerate}
     \item （口答）求出下列各数的倒数：
     \[0.4,\quad \frac{3}{4},\quad -\frac{5}{6},\quad -0.1,\quad \frac{1}{7},\quad -8,\quad -1,\quad \frac{a}{b}\quad (b\ne 0)  \]
\item 你能知道那些个有理数的倒数，就是这个数本身？
\item 利用倒数概念，转化为乘法计算：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\left(-1\frac{2}{7}\right)\div \left(+\frac{3}{7}\right)$
    \item $(+0.26)\div (-0.01)$
    \item $(-64)\div (+4)\div (-8)$
    \item $\left(+1\frac{1}{2}\right)\div \left[\left(-\frac{1}{3}\right)\x \left(-1\frac{1}{2}\right)\right]$
\end{enumerate}
\end{multicols}
    \end{enumerate}   
\end{ex}

\subsection{有理数的乘方}
  乘方运算就是相同乘数(因数)的连乘运算．当
底数$a$为任一有理数时，同样可以记作：
\[\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{个}} =a^n,\qquad \text{（$n$是大于1的自然数）}  \]
$a^n$读作“$a$的$n$次方”或“$a$的$n$次幂”．

同时，仍然规定：
\[a=a^1,\qquad a^0=1\quad (a\ne 0) \]

因而，有关的几个指数幂的运算律，仍然适用．
在有理数乘方运算中，仍可有效地使用的公式是：
\[\begin{split}
    a^m\x a^n &=a^{m+n}\\
    (a\cdot b)^n&=a^n\cdot b^n\\
    (a^m)^n&=a^{mn}\\
    a^m\div a^n&=a^{m-n}\qquad (a\ne 0,\; m\ge n)\\
\left(\frac{a}{b}\right)^m&=\frac{a^m}{b^m}\qquad (b\ne 0)
\end{split}\]



\begin{example}
    计算：
\begin{enumerate}
    \item $(-4)^3,\quad \left(-\frac{1}{2}\right)^4,\quad (-0.1)^5,\quad (-x)^4$
    \item $\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{2}{3}\right)^2,\quad \left[\left(-\frac{1}{5}\right)^2\right]^2,\quad (-0.2)^4\div (-0.2)^2$
    \item $\left[(-2)^m\cdot (-2)^n\right]^2,\qquad \left[\left(-\frac{1}{2}\right)^m\div \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right]^3$
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{solution}
    由乘方的意义及运算公式，可得：
 \begin{enumerate}
     \item $(-4)^3=(-4)\cdot (-4)\cdot (-4)=-64$
     \[\begin{split}
        \left(-\frac{1}{2}\right)^4&=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=+\frac{1}{16}\\
        (-0.1)^5&=\left(-\frac{1}{10}\right)^5=-\frac{1}{100000}=-0.00001\\
        (-x)^4&=(-x)^2\cdot (-x)^2=x^4
     \end{split}\]
\item $\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{2}{3}\right)^2=\left(-\frac{2}{3}\right)^3=-\frac{8}{27}$
\[\begin{split}
    \left[\left(-\frac{1}{5}\right)^2\right]^2&=\left(-\frac{1}{5}\right)^4=+\frac{1}{625}\\
    (-0.2)^4\div (-0.2)^2&=(-0.2)^2=+0.04
\end{split}\]
\item $\left[(-2)^m\cdot (-2)^n\right]^2=[(-2)^{m+n}]^2=[(-2)^2]^{m+n}=4^{m+n}$
\[\left[\left(-\frac{1}{2}\right)^m\div \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right]^3=\left[\left(-\frac{1}{2}\right)^{m-n}\right]^3=\left[\left(-\frac{1}{2}\right)^3\right]^{m-n}=-\frac{1}{8^{m-n}}\]
 \end{enumerate}
\end{solution}

观察例1.31各题中所得结果的符号，与乘方次数
(奇数次或偶数次)有什么联系？能否找出规律性的
东西？
  
\begin{blk}{乘方运算法则}
    任何非零有理数的乘方，将绝对值乘方，而结果
的符号是——正数的任何次乘方都取正号；负数的奇
次乘方时，取负号，负数的偶次乘方时，取正号；
  零的非零次方，都是0；零的零次方幂没有意
义．
\end{blk}


\begin{example}
    计算：
\begin{enumerate}
    \item $(-2)^6,\quad -2^6,\quad -(-2)^6,\quad -(-2^6) $
    \item $5^3\x 6^3,\quad 5\x 6^3,\quad -5\x 6^3,\quad -5^3\x 6^3$
    \item $(-2\x 4)^2,\qquad -2\x 4^2,\qquad 2\x (-4)^2$
    \item $\left(-\frac{3}{5}\right)^3,\qquad \frac{3^3}{5},\qquad -\left(-\frac{3}{5}\right)^3$
    \item $\left(-\frac{1}{3}\right)^{2n},\qquad \left(-\frac{1}{3}\right)^{2n+1}$
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{solution}
 \begin{enumerate}
     \item $(-2)^6=+64,\quad -2^6=-64,\quad -(-2)^6=-64,\quad -(-2^6)=+64$
     \item $5^3\x 6^3=(5\x 6)^3=30^3=27000,\qquad  5\x 6^3=5\x 216=1080   $
     \[-5\x 6^3=-1080,\qquad-5^3\x 6^3=-(5\x 6)^3=-30^3=-27000\]

     \item $(-2\x 4)^2=(-8)^2=+64,\quad -2\x 4^2=-32,\quad 2\x (-4)^2=32$
     \item $\left(-\frac{3}{5}\right)^3=-\frac{27}{125},\qquad \frac{3^3}{5}=-\frac{27}{5},\qquad -\left(-\frac{3}{5}\right)^3=+\frac{27}{125}$
     \item $\left(-\frac{1}{3}\right)^{2n}=\left[\left(-\frac{1}{3}\right)^2\right]^n=\left(+\frac{1}{9}\right)^n=+\frac{1}{9^n}  $
     $$\left(-\frac{1}{3}\right)^{2n+1}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{2n}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=+\frac{1}{3^{2n}}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{3^{2n+1}}$$
 \end{enumerate}   
\end{solution}

在乘方的运算过程中，有效地使用“运算通性”，
可以简化计算．


\begin{example}
计算：$(-5)^3\cdot (-2)^2\cdot (-5)^2 \cdot \left(+\frac{3}{5}\right)^3$
\end{example}

\begin{solution}
\begin{align*}
\text{原式}&=[(-2)^2\cdot (-5)^2]\cdot\left[(-5)^3\cdot \left(+\frac{3}{5}\right)^3\right]    \tag{交换律、结合律}\\
&=[(-2)^2\cdot (-5)^2]\cdot\left[(-5)\cdot \frac{3}{5}\right]^3    \tag{指数运算律}\\
&=(+10)^2\cdot (-3)^3 \tag{乘法法则}\\
&=100\x (-27) \tag{乘方运算法则}\\
&=-2700
\end{align*}

\end{solution}


\begin{example}
利用10的幂形式，记出下列各数：
\[1000000,\qquad  30000,\qquad -5700000,\qquad 849000\]
(要求：一律写成$a\x10^n$，且$|a|$是一个比10小而比
1大或等于1的正数)
\end{example}

\begin{solution}
\[\begin{split}
    1000000 &=1\x 10^6=10^6\\ 
    30000  &=3\x 10000=3\x 10^4\\
    -5700000 &=-5.7\x 1000000=-5.7\x 10^6\\
     849000    &=8.49\x 100000=8.49\x 10^5
\end{split}\]
\end{solution}

这里要指出：这种记法是把一个绝对值较大的数
记成$a\x10^n$的形式，其中$|a|$比10小，比1大或等于
1；$n$等于原数的整数位数减1．这种记数的方法在
科学技术上经常应用，习惯上称为\textbf{科学记数法}．


\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item (口答)
     \begin{enumerate}
         \item 以$(- 3)$为底的三次方等于多少？
         \item $\left(-\frac{1}{2}\right)$的四次方是多少？
         \item $-3\x 5^2,\qquad (-3\div 2)^2,\qquad (-2)^3\div 2^2$
         
$-9\div 3^2,\qquad (-9)\div (-3)^2,\qquad 81\div (-3)^2$
 \item $(-a^2)^3,\qquad [(-a^2)]^3,\qquad (-a^3)^2$
 
 $[(-a)^2]^n,\qquad [(-a)^n]^2,\qquad (-a)^n\cdot \left(-\frac{1}{a}\right)^n$
      \end{enumerate}   
\item 计算：$8^2\x \left(-\frac{2}{3}\right)^3\x(-0.25)^2\x (-4.5)^3$
\item 用科学计数法，表示下列各数．
\[10000,\qquad 360000,\qquad -705000,\qquad -198100000  \]
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{有理数的混合运算}
    在进行有理数的加、减、乘、除以及乘方的混合
运算时，一般要按下列顺序进行计算：
\begin{center}
  先乘方，再乘、除，后加、减  
\end{center}
但是，如果遇到有括号时，就要按“先里后外”的顺
序逐步计算．




\begin{example}
    计算 $(-5)^2\x 3-3^3\x 6\div (-2)$
\end{example}

\begin{solution}
   \begin{align*}
        \text{原式}&=25\x 3-27\x 6\div (-2)\tag{先乘方}\\
        &=75-162\div (-2) \tag{再乘}\\
        &=75-(-81) \tag{再除}\\
        &=75+81=156  \tag{后加、减}
    \end{align*}
\end{solution}


\begin{example}
    计算$\left[2\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)^3\right]\div \left(-\frac{3}{8}\right)+\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \left(-1\frac{2}{3}\right)^2$
\end{example}

\begin{solution}
    \begin{align*}
        \text{原式} &= \left(\frac{9}{4}+\frac{1}{8}\right)\div \left(-\frac{3}{8}\right)+\left(-\frac{3}{5}\right)\x\frac{25}{9} \tag{先里、乘方}\\
        &= \left(+\frac{19}{8}\right)\x \left(-\frac{8}{3}\right)+\left(-\frac{3}{5}\right)\x \frac{25}{9}\tag{再乘、除}\\
        &= \left(-\frac{19}{3}\right)+\left(-\frac{15}{9}\right)\\
        &= \left(-\frac{19}{3}\right)+\left(-\frac{5}{3}\right)\\
        &= -\left(\frac{19+5}{3}\right)=-8 \tag{后加、减}
    \end{align*}
\end{solution}

\begin{ex}
    计算：
\begin{enumerate}
    \item $2\frac{1}{4}\x \left(-\frac{6}{7}\right)\div \left(\frac{1}{2}-2\right)$
    \item $(0.01-0.03)^3-(2\x 0.04^2-0.0015)$
    \item $-3^2-\left[(-5)^2+\left(1-0.2\x \frac{3}{5}\right)\div (-2)\right]\x \left(-\frac{1}{8}\right)$
\end{enumerate}
\end{ex}

在混合运算中，还可以正确灵活运用“运算通
性”，特别是加、乘法的交换、结合律，分配律及指
数运算律，进行简算：

\begin{example}
    计算
\begin{enumerate}
    \item $\left(1\frac{3}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12}\right)\div \left(-\frac{7}{8}\right)$
    \item $\left(-\frac{3}{2}\right)^3\cdot (-0.6)^2-\left(\frac{1}{7}\right)^0\cdot (-1.5)^3+(-0.8)^2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^3+2^3\div \left(-\frac{2}{3}\right)^3$
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{solution}
    利用分配律可使计算简化．
\begin{enumerate}
    \item \begin{align*}
        \text{原式}&=\left(\frac{7}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12}\right)\x\left(-\frac{8}{7}\right) \tag{除法化为乘法}\\
&=\frac{7}{4}\x\left(-\frac{8}{7}\right)-\frac{7}{8}\x\left(-\frac{8}{7}\right)-\frac{7}{12}\x\left(-\frac{8}{7}\right)\tag{分配律}\\
&=-2+1+\frac{2}{3} \tag{乘法法则}\\
&=-\frac{1}{3}  \tag{求代数和}
    \end{align*}
    \item \begin{align*}
        \text{原式}&= \left(-\frac{3}{2}\right)^3\cdot (-0.6)^2-\left(\frac{1}{7}\right)^0\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^3+(-0.8)^2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^3+2^3\x \left(-\frac{3}{2}\right)^3\\
&= \left(-\frac{3}{2}\right)^3 \cdot \left[(0.6)^2-\left(\frac{1}{7}\right)^0+(-0.8)^2+2^3\right] \tag{分配律}\\
&=-\frac{27}{8}\cdot (0.36-1+0.64+8)\\
&=-\frac{27}{8}\x 8=-27
    \end{align*}
\end{enumerate}    
\end{solution}


\begin{ex}
    计算：
\begin{enumerate}
    \item $2^3\cdot (-4)^2-9^0+\left(-\frac{1}{2}\right)^3+(-2)^3\cdot 16$
    \item $\left(\frac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{1}{3}\div (-1.5)^2-\frac{5}{6}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^2$
    \item $\left(1-\frac{1}{7}-\frac{2}{7}-\frac{3}{7}+\frac{5}{7}\right)^2\div \left(-\frac{6}{7}\right)^2$
    \item $\left(-\frac{2}{5}\right)\cdot \left[(-1)^0-\left(-\frac{5}{8}\right)\x (-2)^2+1\frac{1}{4}\div \left(-\frac{1}{9}\right)^0\right]$
\end{enumerate}
\end{ex}

\section*{习题1.3}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题1.3}

\begin{enumerate}
    \item 直接利用加法法则，写出下列各结果：
\[(-7)+2,\qquad \left(-9\frac{1}{2}\right)+\left(-7\frac{1}{2}\right),\qquad (-7)+(+7),\qquad 3+(-8)\]    
\[\left(-9\frac{1}{2}\right)+\left(-5\frac{1}{4}\right),\quad 10\frac{1}{10}+\left(-10\frac{1}{10}\right),\quad (-2)+(-5),\quad \left(-7\frac{1}{2}\right)+5 \]
\[a+(-a),\qquad 7+23,\qquad (-8)+\left(+1\frac{1}{4}\right),\qquad (-3.2)+(-2.3) \]
\[(-41)+38,\qquad 0+\left(-8\frac{1}{3}\right),\qquad (-2.5)+(+3.6),\qquad 41+(-38)\]
\[6\frac{1}{2}+0,\qquad (+8.7)+(-9.5) \]
    \item 利用加法法则，填出下表各栏：
\begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
\hline
$x$& $y$&  $x+y$& $(-x)+y$& $x+(-y)$& $(-x)+(-y)$\\ 
\hline
$+8$ &$-2$&$+6$&$-10$&$+10$&$-6$\\
$-5$ & $-1$ \\
$1\frac{1}{4}$ & $-2\frac{3}{4}$ \\
$-3\frac{1}{2}$ & $-7\frac{1}{4}$ \\
$-\frac{1}{9}$ & $0$ \\
\hline
    \end{tabular}
\end{center}

\item 计算：
\begin{enumerate}
    \item $(+3)+(-13)+(+7)+(-18)$
    \item $(+0.56)+(-0.9)+(+ 4.4)+8.1$
    \item $\frac{2}{3}+(-2.53)+\left(-\frac{2}{3}\right)+5.53$
    \item $\left(-\frac{2}{5}\right)+\left(+\frac{3}{10}\right)+\left(-1 \frac{1}{5}\right)+\left(-1 \frac{3}{10}\right)+\frac{3}{5}$
    \item $\left(-\frac{3}{7}\right)+0+\left(+1 \frac{1}{9}\right)+\left(-\frac{43}{63} \right)$
\end{enumerate}

\item 计算，并注明每一步的依据：
\begin{enumerate}
    \item $\left(+4 \frac{1}{4}\right)+\left(-3 \frac{1}{3}\right)+\left(-4 \frac{3}{4}\right)+3 \frac{2}{3}$
    \item $9 \frac{1}{2}+\left(-4 \frac{3}{4}\right)+\left(+1 \frac{1}{4}\right)+1 \frac{1}{2}$
    \item $4.4+\left[(-0.1)+\left(+8\frac{1}{3}\right)+\left(-11\frac{2}{3}\right)\right]+1\frac{1}{3}$
    \item $(-17.85)+(-3.65)+17.85+(-1.75)$
    \item $(-10.5)+22.3+(-12.15)+\frac{7}{20}$
\end{enumerate}
\item 要使下列的算式正确，有理数$x=?$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $(-2)+x=0$
    \item $x+\left(-1\frac{1}{7}\right)=0$
    \item $x+(-3)=-4\frac{1}{3}$
    \item $(-2.5)+x=+5$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item 利用减法法则，计算下列各题．
\[(+2)-(+5),\quad \left(-7\frac{1}{2}\right)-\left(+1\frac{1}{2}\right),\quad \left(-12\frac{1}{3}\right)-10,\quad (+2)-(-5)\]
\[\left(-7\frac{1}{2}\right)-\left(-3\frac{1}{2}\right),\quad (-2.75)-(-1.95),\quad 0-(+8),\quad \left(-8\frac{1}{3}\right)-\left(+8\frac{1}{3}\right)\]
\[(+5)-(-2.9), \quad (-5)-(-8),\quad \left(+4\frac{3}{4}\right)-5,\quad (+1.06)-(-1.06)\]
\[\left(-2\frac{1}{2}\right)-(+7),\quad 7-\left(-2\frac{1}{5}\right),\quad (-7.6)-(-9),\quad (-2.5)-(-7)\]
\[0-\left(-9\frac{1}{2}\right),\qquad 11\frac{1}{101}-0\]

\item 填出下列表中的空白：
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
\hline
$x$  &  $y$  &  $x-y$  &  $(-x)-y$  &  $(-x)-\frac{1}{2}$  &  $x-(-y)$  &  $1-y$\\
\hline
$\frac{1}{4}$ & $-1\frac{1}{2}$ &&&&&\\
\hline
\end{tabular}    
\end{center}

\item 将下列各题，先改写为代数和，再计算：
\begin{enumerate}
    \item $(-32)-(-7)-(-65)-(-24)$
    \item $0-\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{1}{4}\right)-\left(+\frac{1}{6}\right)$
    \item $4.4-\left[(-10.1)+\left(+8\frac{1}{3}\right)-\left(+11\frac{1}{3}\right)\right]$
    \item $(+473.63)+(-208.17)-(-89.41)-(-17.09)-(+473.65)$
    \item $\left(+17\frac{3}{4}\right)-(+6.25)-\left(-8\frac{1}{2}\right)-(+0.75)-\left(-22\frac{1}{4}\right)$
\end{enumerate}
\item 利用减法法则和运算通性，说明：
\begin{enumerate}
    \item $a-(b+c+d)=a-b-c-d$
    \item $x-y-z-n=(x-y)-(z+n)$
\end{enumerate}
\item 计算代数和：
\begin{enumerate}
    \item $33+59.8-12 \frac{4}{5}-31 \frac{3}{5}-8.7$
    \item $7954+2047-4643-6009+3406$
    \item $8-2 \frac{3}{8}+2-8 \frac{1}{4}-3+3 \frac{1}{3}$
    \item $a+b-a-c$
\end{enumerate}

\item 
先去括号，再计算：
\begin{enumerate}
\item $0-1-\left[(-1)-\left(+\frac{3}{7}\right)-(+5)\right]-\left(-\frac{4}{7}\right) $
\item $1 \frac{1}{3}-\left(\frac{5}{2}-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{5}{3}+1 \frac{1}{2}\right)$
\item  $-3 \frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}- \frac{5}{6}-1 \frac{1}{2}\right)$
\item $\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{5}{6}\right)-\left(\frac{2}{3}-\frac{5}{6}\right)$
\item $2^{3} \cdot\left(4-\frac{1}{24}\right)-\left(\frac{-1}{3}-2^{0}-5^{2}-6\right)$
\end{enumerate}

\item 利用乘法法则计算：
\[(-7)\x (+9),\quad 3\x\left(-2\frac{1}{2}\right),\quad (-3.5)\x (+3.5),\quad (-7)\x(-10) \]
\[ \left(-3\frac{1}{2}\right)\x (-2),\quad (-7)\x\left(+\frac{1}{7}\right),\quad (-7)\x\left(-\frac{1}{7}\right) ,\quad \left(-1\frac{1}{7}\right)\x\left(+1\frac{3}{4}\right) \]
\[\left(-1\frac{1}{6}\right)\x\left(-\frac{6}{7}\right),\quad 5\x (-2.4),\quad \left(-1\frac{1}{4}\right)\x\left(-1\frac{1}{5}\right),\quad \left(+2\frac{2}{3}\right)\x\left(-\frac{3}{8}\right) \]
\[(-8)\x (-1.25),\quad 0\x\left(-\frac{1921}{1981}\right),\quad (-6.2)\x (-7.1),\quad 0\x (-1919)\]
\[(-a)\x 0,\qquad (+0.002)\x \left(-\frac{1}{500}\right)\]

\item 填满下列表格中的空白：
\begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
    \hline
    $x$  &  $y$  &  $x\cdot y$  &  $(-x)\cdot (y)$  &     $x\cdot (-y)$  &  $\left(-\frac{2}{3}\right)xy$\\
    \hline
    $-4$ & $+\frac{3}{4}$ &&&&\\
& $(-5)$ & $+15$ &&& \\
$-12\frac{15}{17}$ & 0&&&&\\
$+1\frac{1}{2}$ & & & $+3$&&\\
$(-0.5)$ & $(-2)$ &&&&\\
    \hline
    \end{tabular}    
    \end{center}

\item 计算：
\begin{enumerate}
    \item $(-0.12)\x 2\frac{1}{12}\x\left(-\frac{3}{4}\right)\x(-1.6)$
 \item $(-3.81) \times\left(-66 \frac{2}{3}\right) \times(-0.02)$
\item $1 \frac{7}{8} \times\left(-3 \frac{1}{3}\right) \times\left(-\frac{4}{15}\right) \times(41)^{0}$
\item $\frac{2}{5} \times\left(-1 \frac{1}{2}\right) \times\left(-2 \frac{1}{3}\right) \times(-7) \times\left(+1 \frac{3}{4}\right)$
\item  $6^{2}-\left[4 \times\left(\frac{2}{3}-1 \frac{1}{2}\right) \times\left(-\frac{3}{2}\right)\right]$
\end{enumerate}


\item 计算，并注出每步的依据：
\begin{enumerate}
\item $(-0.12) \times\left(-\frac{3}{4}\right) \times(-16) \times \frac{1}{12}$
\item $-\frac{3}{4} \times\left(8-1 \frac{1}{3}-0.04\right)$
\item $\left(\frac{11}{12}-\frac{7}{6}+\frac{3}{4}-\frac{13}{24}\right) \times(-48)$
\item $2^{5} \cdot(-1)+\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 2^{5}+\left(-\frac{1}{3}\right) \cdot 2^{5}+\left(-\frac{1}{6}\right) \cdot 2^{5}$
\end{enumerate}

\item 利用有理数运算通性，说明下列两式：
\begin{enumerate}
    \item $(a + 1)\cdot (a-1) =a^2-1$
    \item $(1+ x)^2=1+2x+x^2$
\end{enumerate}

\item 利用除法法则，计算下列各题：
\[(+48)\div (-6),\quad \frac{2}{3}\div \left(-\frac{1}{2}\right),\quad \left(-1 \frac{1}{3}\right)\div\left(-\frac{3}{4}\right), \quad (-45)\div (+9)\]
\[\left(-\frac{3}{5}\right) \div\left(-\frac{3}{5}\right), \quad (-0.25) \div(-4), \quad 
(-36) \div(-3), \quad\left(-\frac{2}{5}\right) \div\left(+\frac{1}{2}\right)\]
\[(+1.84) \div(-0.5), \quad \frac{-16}{+12},\quad 
\left(-1 \frac{1}{3}\right)\div\left(+\frac{3}{4}\right), \quad(-76) \div 1 \frac{1}{3}\]
\[\frac{-18}{-12}, \quad 2 \frac{1}{2}\div \left(-1\frac{1}{4}\right),\quad (-83325) \div(-75), \quad 0 \div(-1850)\]
\[\left(-5 \frac{5}{8}\right)\div \left(-3 \frac{3}{4}\right), \quad(-0.75) \div 5 \frac{5}{8}\]

\item 按表格的要求，填写各空格：
\begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
    \hline
    $x$  &  $y$  &  $x\div y$  &  $(-x)\div y$  &     $1\div y$  &  $(-x)\div(-y)$ &$x\div(-1)$\\
    \hline
 $-4$ & $+6$  &&&&&\\
 $0$ & $-\frac{1}{10}$  &&&&&\\
  & $-\frac{2}{3}$  &1&&&&\\
    \hline
    \end{tabular}    
    \end{center}

\item 计算：
\begin{enumerate}
    \item $(-6) \div \frac{2}{3} \div 1 \frac{1}{4}$
    \item $3.28 \div\left(-2 \frac{2}{3}\right) \div 1 \frac{1}{2}$
    \item $-1 \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} \times(-0.2) \times 1 \frac{3}{4} \div 1.4 \times\left(-\frac{3}{5}\right)$
    \item $-3^{15}\div 3^{5} \times 3^{7} \div\left(+1 \frac{1}{2}\right)^{3}$
    \item $[a\div (-a)]+[(-b)\div b] \quad (a \neq 0,\; b \neq 0)$
\end{enumerate}
\item 试利用乘法的分配律：
\begin{enumerate}
    \item 计算： $\left(\frac{4}{5}-\frac{9}{25}+\frac{1}{10}\right) \div\left(-\frac{3}{5}\right)$
    \item 说明：如果 $a \neq 0$, 那么 $(b+c+d)\div a=b \div a+c\div a+d\div a$
\end{enumerate}

\item 写出下列各乘方的结果：
\[(-2)^{5},\quad (-1.5)^{2} \cdot\left(1 \frac{1}{2}\right)^{3},\quad  \left(-3 \frac{1}{2}\right)^{2} \div\left(\frac{2}{7}\right)^{2} ,\quad \left(-1 \frac{1}{2}\right)^{4}\]
\[(-5)^{2} \cdot(-5)^{0} ,\quad(-7)^{9}\div 7^{7} ,\quad (+0.01)^2,\quad (-0.01)^2\cdot (-0.1)^3\]
\[(-0.2)^4\div (-2)^3,\quad \left(-\frac{2}{3}\right)^3,\quad (-12)^3\cdot (+18)^3,\quad (-0.031)^2\div (-0.031)^2\]
\[-\frac{2^2}{5},\qquad -0.5^2\cdot (-1)^7,\qquad \left(8\frac{1}{9}\right)^2\div \left(-8\frac{1}{9}\right)^0\]
\[\frac{-3^3}{7},\qquad -7^2\cdot (-7)^2\cdot (-7),\qquad (-0.25)^4\div \left(\frac{1}{4}\right)^4\]

\item  计算，并用科学记数法表示结果：
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
        \item $(-0.2)^6\cdot (500)^6$
        \item $(0.625)^3\cdot (-4000)^3$
        \item $(-1.25)^4\cdot (8000)^4$
        \item $\left(-\frac{1}{4}\right)^5\cdot (120)^5$
    \end{enumerate}
\end{multicols}

\item 用数的运算通性，说明：
\[a^m\cdot (a^n-1)\div a^n=a^m-a^{m-n}\quad (a\ne 0,\; m\ge n)\]

\item 计算：
\begin{enumerate}
    \item $\left(\frac{1}{6}-\frac{4}{3}\right)-(-1)^{91}\x \left(\frac{3}{2}-\frac{5}{3}\right)^3$
    \item $\left(-\frac{3}{2}\right)^3-\left(+\frac{3}{2}\right)^2-\left(-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{2}{-2^2}$
    \item $7\x 10^2+6\x (-1)^2-8\x (-1)^3$
    \item $(-32)^{n+1}\div 16\x (-2)^2$
    \item $\left(-\frac{2}{3}\right)^{2n-1}\div \left(-\frac{2}{3}\right)^{2n-5}$
    \item $\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+4}\div \left(\frac{1}{8}\right)^{2n+1}$
    \item $-\left[-\frac{5}{8}\left(-1\frac{7}{11}\right)^m\right]^0$
\end{enumerate}

\item 如果$a$是一个负有理数，$m$是一个正偶数，$n$是一个正
奇数，试判断以下各乘方结果是正数还是负数？
\[a^m,\quad a^n,\quad a^{m+n},\quad a^{m-n},\quad a^{2m},\quad a^{2n} \]

\item 利用数的运算通性，计算：
\begin{enumerate}
\item  $3 \frac{1}{7}+\left(-1 \frac{1}{4}\right)+\left(-3 \frac{1}{7}\right)+1 \frac{1}{4}+1$
\item  $99.1+\left[\frac{1}{5}-\left(-\frac{9}{7}\right)-\left(-\frac{1}{5}\right)-1 \frac{2}{7}\right]$
\item  $5 \frac{25}{29}-\left[25 \frac{7}{29}-\frac{4}{29}\right]^{0}-5 \frac{2}{29}$
\item  $1 \frac{5}{6}-2 \frac{1}{3}-\left(-\frac{5}{6}\right)+\left(-\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{12}$ 
\end{enumerate}

\item  计算：
\begin{enumerate}
\item $-3^{2}+(-3)^{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$
$+(-1)^{1011}-\frac{1}{0.1^{2}}$
\item $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left[\left(-1 \frac{1}{2}\right)^{2}-\left(1 \frac{1}{2}\right)^{2}-\left(-2 \frac{1}{2}\right)^{2}\right] \times\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$
\item $\left(\frac{3}{4}+2 \frac{1}{2}\right) \div\left\{1-\left[\frac{3}{4} \times\left(-2 \frac{1}{2}\right)\right]\right\}$
\item $-3.8+4.35-10 \frac{9}{10} \times(-2)-1.05 \times 7$
\end{enumerate}


\item 计算：
\begin{enumerate}
    \item $16 \cdot(-3)^{2}+5 \cdot(-3)-12 \div 2+(-60) \div(-4)+18 \cdot(-2)^{3}-2 \cdot(-3)$
    \item $\left(\frac{4}{3}-\frac{7}{6}\right)^{2} \div\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)^{2} \div(-6)^{2} \times\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$
    \item $-5 \frac{1}{2}-\left\{\frac{5}{28} \times 3^{0}-\left[2 \frac{1}{7}+\left(3-1 \frac{4}{7}\right)\right] \times 0.1^{2}\right\}$
    \item $\frac{5-20 \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{2}\div 0.5}-\frac{-5}{1-\frac{1}{5}}+\frac{-\frac{1}{2}+1.5}{-5}$
\end{enumerate}

\item  回答下列问题：
\begin{enumerate}
    \item 如果已知两个非负有理数相加后等于零．那么这
    两个有理数分别是几？
    \item 给出有理数$a$与$b$，假如告诉你$a^2 +b^2=0$，你能
    知道$a, b$分别是多少？为什么？
    \item 在(b)的条件下，试求：$a^3+b^3$以及
    $(a-1)^2+(b-1)^2$
\end{enumerate}


\item  有理数$x,  y$之间有关系：
$(x-3)^2+(y+4)^2=0$．试求：
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
        \item $\left(\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{y}{x}\right)$
        \item $x^2+y^2$
        \item $\left(\frac{x}{y}\right)^2+1$
        \item $x^3+y^3$
        \item $(x+3)^2+(y-4)^2$
    \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\section{有理数系的基本性质}
    引进负数后，建立了有理数系，它包括：正整
数、正分数、零、负整数、负分数．通过前几节讨论
可以知道，在有理数系中，四则运算(包括乘方)都
非常简便易行、畅通无阻，比起我们在小学里所学的
数(非负有理数)来，在运算上和应用上都要有力得
多．

\subsection{有理数运算的“通性”}
  \subsubsection{加、减、乘(乘方)、除运算的封闭性}
    由于引进了负数，在有理数的范围内就解决了
  “减法中\textbf{不够减}”的矛盾．因而，\textbf{任意两个有理数的
和、差、积、商(0不作除数)就都保证还是有理
数．这就是有理数四则运算的封闭性}．相比之下，在
自然数范围内，除法(除数不为0)、减法就不封
闭；在整数(正、负)范围内，除法(除数不为0)
就\textbf{不封闭}．

\subsubsection{加法的交换律、结合律}
\begin{blk}{}
对于有理数$a,b,c$来说，
\[a+b=b+a,\qquad (a+b)+c=a+(b+c)\]
\end{blk}

这就告诉我们，在进行有理数加法运算时，随便
交换各个加数之间的位置，随便结合各个加数，计算
结果都是一样的，也就是说：在加法算式中，只要便
于计算，就可以任意添加括号，也可以省略所有括
号．

例如：
\[\begin{split}
&\quad (-5.6)+\left(-\frac{1}{4}\right)+(-4.4)+\frac{1}{4}\\
&=[(-5.6)+(-4.4)]+\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}\\
&=-10+0=-10
\end{split}\]

\subsubsection{乘法的交换律、结合律}
\begin{blk}{}
    对于有理数$a, b, c$来说：
   \[ a\cdot b=b\cdot a,\qquad   (a-b)\cdot c=a\cdot  (b\cdot  c)\]
\end{blk}


   这同样告诉我们，在乘法运算的式子中，也可以
任意添加或去掉括号，任意调换各乘数的位置而不影
响计算结果．

例如：\[\begin{split}
   &\quad  (-0.625)\x\frac{3}{4}\x(-8)\x\left(-\frac{4}{5}\right)\\
    &=\frac{3}{4}\x[(-0.625)\x(-8)]\x\left(-\frac{4}{5}\right)\\
    &=\frac{3}{4}\x5\x\left(-\frac{4}{5}\right)=-3
\end{split}\]


\subsubsection{乘法对于加法的分配律}
\begin{blk}{}
对于有理数$a,  b,  c$来说：
\[ a\cdot (b+c)=ab+ac\]
\end{blk}

这就告诉我们，计算一数与另两数和的乘积，跟
计算这一数分别与另两数乘积的和，结果是一样的．
在具体的计算中，要灵活应用，以方便为好．

例：$16\cdot \left(\frac{5}{8}+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\right)=10+12+8=30$
\[\begin{split}
   &\quad (-0.7)\x (-0.86)+(-0.13)\x (-0.7)+0.01\x (0.7)\\
    &=0.7\x (0.86+0.13+0.01)\\
    &=0.7\x 1=0.7
\end{split}\]

\subsubsection{相反数与减法}
\begin{blk}{}
对于任一个有理数$a$，总是只有一个有理数$(-a)$
存在，它们有性质：$(-a) +a=a+(-a)=0$，那么，
$(-a)$就称为$a$的相反数．
\end{blk}

因而，对有理数减法，就可以转化为：
        \[a-b=a+(-b)\]

\subsubsection{倒数与除法}
\begin{blk}{}
 对任一个非零有理数$b$，总是只有一个有理数
$\frac{1}{b}$存在，它们有性质：$b\x\frac{1}{b}= \frac{1}{b} \x b=1$；那么，$\frac{1}{b}$
就称为$b$的倒数．
\end{blk}

因而，对有理数除法，就可以转化为：
\[a\div b=a\x\frac{1}{b}\]

以上两条告诉我们，在有理数进行减法、除法
(除数不为0)时，分别可以应用相反数，倒数，将
它们转化为加法、乘法运算．

\subsubsection{数0与1的特性}
\begin{blk}{}
    对于任意有理数$a$来说：
\[a+0=0+a=a,\qquad  a\cdot 0=0\cdot a=0,\qquad a\cdot 1=1\cdot a=a\]
\end{blk}

    这就告诉我们，在有理数运算中，除有“零不作
除数”一的约定外，$0,  1$还有特殊性，其作用显然可
得：\textbf{“加零如不加”、“乘一如不乘”、“乘零就得
零”．}

\subsubsection{指数运算律}
    \begin{blk}{}
    对于有理数的乘方运算来说：
\[\begin{split}
a^m\cdot a^n&=a^{m+n}\\
(a\cdot b)^m&=a^{m}\cdot b^m\\
(a^m)^n&=a^{m\cdot n}\\
\left(\frac{a}{b}\right)^m&=\frac{a^m}{b^m}\qquad (b\ne 0)\\
a^0&=1\qquad (a\ne 0)\\
a^m\div a^n&=a^{m-n} \qquad (a\ne 0,\; m\ge n)
\end{split}\]
其中，$m, n$均为正整数．
    \end{blk}

\begin{ex}
    利用“运算通性”计算：
    \begin{enumerate}
        \item $\left[1\frac{1}{24}-\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{6}-\frac{3}{4}\right)\x3\x2^3\right]\div 5$
        \item $\frac{3^{n-1}}{3^{n-5}}+\frac{27^{2n+1}}{9^{3n-1}}$
        \item $2^n\cdot 6^{n+2}\div 12^n-24^n\div 8^n\cdot 3^{n-2}$
        \item 说明以下式子：$(a-b)\div c=a\div c-b+c\quad (c\ne 0)$
    \end{enumerate}

\end{ex}

\subsection{有理数的大小顺序}
    在小学算术中已经知道：\textbf{0比任何正数都小}；引
进负数以后，显然应该约定：\textbf{0比任何负数都大}．因
而，在有理数中，我们约定：

\textbf{负数比0小，0比正数小}；显然，\textbf{负数也就小于正
数了}．这个结论可以记作：
\[\text{负数}<\text{零}<\text{正数}\]
读作：负数小于零小于正数．符号“$<$”称为小于
号．当然，我们也可以将这个结论记为：
\[\text{正数}>\text{零}>\text{负数}\]
读作：“正数大于零大于负数”．符号“$>$”称为大
于号．例如：$-54<0<+0.01$，或$+0.01>0> -54$.

这样一来，在今后的学习中，对任一个正有理数
$a$，就可以用$a>0$表示；对任一个负有理数$b$，就可以
用$b<0$表示．

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 用“大于号”或“小于号”连接下列各数：
\begin{enumerate}
    \item $0,\qquad ,-\frac{1}{2},\qquad +\frac{1}{100}$
    \item $-0.9,\qquad +0.9,\qquad 0$
\end{enumerate}
\item 如果$a\ge 0$，$a$表示什么样有理数？
如果$b\le 0$，$b$表示什么样有理数？
\end{enumerate}
 \end{ex}   

    对于任意两个有理数$a$与$b$来说，下列三种关系中
必定有一种，也只能有一种关系成立，即$a>b$或$a =b$或$a<b$．
    但究竟如何比较两个有理数$a,  b$的大小呢？我们
约定：
\begin{itemize}
    \item 当$a-b>0$时，则有$a > b$；
    \item     当$a-b=0$时，则有$a=b$；
    \item   当$a-b<0$时，则有$a < b$．
\end{itemize}

例如：$5-3=2>0 \quad \Rightarrow\quad 5>3$
\[(-5)-(+3)=-8<0 \quad \Rightarrow\quad -5<+3\]
\[(-5)-\left(-8\frac{1}{2}\right)=+3\frac{1}{2}>0 \quad \Rightarrow\quad -5>-8\frac{1}{2}\]
\[0-(-7)=+7>0 \quad \Rightarrow\quad 0>-7\]
\[0-0.01=-0.01<0 \quad \Rightarrow\quad 0<0.01\]

显然，以上约定，反过来也是成立的，即：
\begin{itemize}
    \item 当$a>b$时，则有$a-b>0$；
    \item     当$a =b$时，则有$a-b=0$；
    \item     当$a<b$时，则有$a-b<0$．
\end{itemize}

\begin{example}
    比较下列各组数的大小：
   \begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $-15$ 与$+0.001$
    \item $-2.7$ 与$-3.1$
    \item $-\frac{2}{3}$ 与$-\frac{6}{7}$
    \item $-0.01$ 与$-1.01$
\end{enumerate}
   \end{multicols}
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item $\because\quad (-15)-(+0.001)=-15.001<0$

$\therefore\quad -15<+0.001$，即负数$<$正数．

\item $\because\quad (-2.7)-(3.1)=+0.4>0$

$\therefore\quad -2.7>3.1$．

\item $\because\quad \left(-\frac{2}{3}\right)-\left(-\frac{6}{7}\right)=-\frac{14}{21}+\frac{18}{21}=+\frac{4}{21}>0$

$\therefore\quad -\frac{2}{3}>-\frac{6}{7}$．

\item $\because\quad (-0.01)-(-1.01)=+1>0$

$\therefore\quad -0.01>-1.01$．
\end{enumerate}    
\end{solution}

\begin{example}
比较下列三个数的大小：$+0.1,\quad -3,\quad -\frac{1}{4}$
\end{example}

\begin{analyze}
比较这三个数中，由于正数$>$负数，因而
$+0.1$是最大的，只要比较一下两个负数的大小即可．
\end{analyze}

\begin{solution}
    三个数中，$+0.1$最大，又$\because\quad (-3)-\left(-\frac{1}{4}\right)=-2\frac{3}{4}<0$

    $\therefore\quad -3<-\frac{1}{4}$

    因此可得：$-3<-\frac{1}{4}<+0.1$，
    或写成：$+0.1>-\frac{1}{4}>-3$．
\end{solution}

\begin{rmk}
三个数同时比较大小时，书写的顺序
务必要使它们排成由大到小或田小到大，并用\textbf{同向}
“大于号”或\textbf{同向}“小于号”连接起来．切不要写成
\textbf{不同向}的形式．如：$-3<+0.1>-\frac{1}{4}$的写法就不
妥，因为这样的写法，并没有说明$-3$与$-\frac{1}{4}$的大
小．
\end{rmk}

\begin{ex}
    比较下列各组数的大小
\begin{enumerate}
    \item $0$ 与$-10$，\quad $0$ 与$+10$，\quad $-10$ 与$+10$，\quad $-10$ 与$-15$
    \item $\frac{1}{3}$ 与$\frac{1}{5}$，\quad $-\frac{1}{3}$ 与$-\frac{1}{5}$，\quad $-0.8$ 与$-0.4$，\quad $-0.12$ 与$-0.15$
    \item $+0.001$ 与$-108$ 与$-0.001$，\quad $-\frac{1}{2}$ 与$+\frac{1}{2}$ 与$-\frac{1}{4}$
\end{enumerate}
\end{ex}

通过比较有理数的大小，你能不能发现和总结一
下“有理数的大小与它们的绝对值大小之间有什么规
律？”也就是说：

    当你比较0与正数或正数与正数的大小时，它们
的绝对值之间有什么关系？

    当你比较0与负数或负数与负数的大小时，它们
的绝对值之间又有什么关系？

    可见，对于任意两个有理数大小的比较，有以下
规律：
\begin{itemize}
    \item 0与正数或两个正数比较时，绝对值大的，数就
大．

如：$\because |0|<|5|<|8|, \quad \therefore 0<5<8$；
\item 0与负数或两个负数比较时，绝对值大的，数反
而小．

如：$\because |-8|>|-5|>|0|, \quad \therefore -8<-5<0$．
\end{itemize}
    
  这就告诉我们，在比较几个有理数大小时，可以这
样排列：先把所有给出的\textbf{负数按绝对值由大到小排}，
接着排0，再接着把所有给出的\textbf{正数按绝对值由小到大排
列}．排好的次序，就是这些有理数由小到大的顺
序．它们两两之间就可用小于号“$<$”连接起来了．

\begin{example}
 比较下列所给数的大小，并用“$<$”或“$>$”
把它们连接起来：   
\[3,\quad -7,\quad 1.4,\quad -1.4,\quad 0,\quad -9,\quad \frac{1}{2} \]
\end{example}

\begin{solution}
 可以两两比较大小，不过，还可以按上面所说，
    按绝对值大小排列的规律，把所给七个数排列为：
\[-9,\quad -7,\quad -1.4,\quad 0,\quad \frac{1}{2},\quad 1.4,\quad 3  \]
用小于号“$<$”连接：
\[-9<-7<-1.4<0< \frac{1}{2}< 1.4<3  \]
显然，也可以写成：
\[3>1.4>\frac{1}{2}>0>-1.4>-7>-9 \]
把这些数，可以表示成数轴上的点：
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[xscale=.8,>=latex]

\draw[->, very thick] (-10,0)--(4,0)node[right]{$X$};        

\foreach \x/\y in {-9/A,-7/B,-1.4/C,0/O,0.5/D, 1.4/E,3/F}
{
    \draw (\x,-.1)node[above=4pt]{$\x$}--(\x,.1)node[below=4pt]{$\y$};
}
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}
\end{solution}

不难看出：\textbf{在数轴上，右边的点总是比左边的点所表
示的有理数要大}．因此，比较有理数的大小，就相当于在数轴上比较表示它们的点的右、左位置关系．

\begin{ex}
    比较下列各数的大小，用“$<$”号连接，并在数轴上将
    各数用点表示出来．
    \[-4,\quad -5,\quad 3.5,\quad -3,\quad 0,\quad 2,\quad -1.5,\quad 0.5,\quad 5  \]
\end{ex}

\subsection{等式与不等式的基本性质}
\subsubsection{等式}
在我们进行有理数的各种运算中，曾经遇到过这
样用等号联结的两个算式：
\[\begin{split}
(-2)+\left(-\frac{1}{3}\right) &=-2\frac{1}{3}\\
(+0.1)+(-5.1)&=-5\\
(-7)-b&=+3,\quad \text{求$b$}    \\
(-2)\cdot x&=+4,\quad \text{求$x$}    \\
\end{split}\]

我们就把\textbf{用等号“$=$”联结起来的两个算式，叫
做等式}．如果用大写字母$A, B$表示算式，那么，等
式的一般形式就可以表示成：
                      \[A=B\]
                      
显然，我们所见过的等式中，有两种类型：一类
是无须任何条件，本来就是事实的等式，如：$5+3=
  (-2)+10$；$(-3)-(-16)= 13$；$a+a=2a$等．这
样的等式，我们称为\textbf{恒等式}．

另一类是必须在某些条件下，才能成为事实的等
式，如：$x+(-2)=-6$，必须在$x=-4$的条件下，
才能成为事实；$a-b=2$，必须在$a$比$b$大2的条件
下，才是事实．等等，这样的等式，称为\textbf{条件等式}．

    此外，还有一种类型，根据等式的意义，只是在
犯式上用等号连结两个算式，而实际上是根本不能承
认的事实，如：$3+5=10$，$0\cdot x=-5$等．这样的等式，
称为\textbf{矛盾等式}．

对于这些等式，有以下基本性质：

\begin{blk}{}
\begin{enumerate}
    \item 等式两边可以对调．即：如果$A= B$，那么$B=A$．
    \item 相等的关系，可以传递．即：
    如果$A=B$,  $B=C$．那么$A=C$．
    \item 等式的两边，可以加上(或减去)同一个数．即：如果$A= B$，那么$A\pm m=B\pm m$．
    \item 等式的两边，可以乘以(或除以非零的)同
一个数．即：如果$A=B$，那么$A\cdot m=B\cdot m$ (或$A\div m =
B\div m$) ($m\ne 0$)．
\end{enumerate}
\end{blk}


今后，多当我们遇到有关等式的问题时，就可以利
用这些基本性质，根据需要对等式进行适当的变形，
得出新的等式．

\begin{example}
    如果$a,b$两数之间有等式关系：$a-5=b-2$，
试比较这两个数的大小，并指出大几？
\end{example}

\begin{analyze}
    要比较$a,b$的大小，就要首先把给出
的等式$a-5=b-2$利用等式基本性质变形为“$a, b$之
差等于几”的形式．再根据比较大小的约定得出结
论．
\end{analyze}

\begin{solution}
    由等式$a-5=b-2$，利用等式基本性质3，
两边可以加上同一个数5，就变形为：
      \[a-5+5=b-2+5，\text{即 } a=b+3\]
    这时已经可以知道，$a$比$b$大3．

    为了应用“比较大小的约定”，还可以将等式
$a=b+3$再进一步变形为：
\[a-b=3\qquad \text{(由性质3，两边同减$b$)}\]
    因此，$a>b$，且$a$比$b$大3．
\end{solution}

\begin{example}
如果已知$5a + b = 7b$，试求：$\frac{a}{b},\quad (b\ne 0)$
\end{example}

\begin{solution}
    利用等式的基本性质，可作以下变形

    $\because\quad 5a+b=7b$ （已知）

    $\therefore\quad 5a=6b$ （由性质3，两边同加$(-b)$）

    $\therefore\quad 5\left(\frac{a}{b}\right)=6$ （由性质4，两边同除以$b\ne 0$）

    $\therefore\quad \left(\frac{a}{b}\right)=\frac{6}{5}$ （由性质4，两边同乘以$\frac{1}{5}$）

    因此，$\frac{a}{b}=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}$．
\end{solution}

\begin{example}
    如果等式$-4=7+11x$成立，试求$x$．
\end{example}

\begin{solution}
    利用基本性质，将等式$-4=7+11x$进行以下
变形，可得出等式：
\begin{align*}
    -11&=11x  \tag{两边同减去7}\\
    -1&=x  \tag{两边同除以11}\\
    x&=-1  \tag{两边对调位置}\\
\end{align*}
\end{solution}

\begin{ex}
 \begin{enumerate}
     \item 利用等式的基本性质，试把下列的等式进行变形，你能把
     所给的每一个等式，变形成几个等式？并注明你每次变形
     的根据．
    \[b+(-3)=1,\qquad 2x+4=5y\; (y\ne 0) \]
     \item 如果$3a+b=6+4b$，你能知道$a,b$的大小吗？并指出大
       (或小)多少？
      \item $a$是何值时，等式$7a-1\frac{1}{6}=\frac{1}{2}+5\frac{1}{3}$才能成立？

   \item 想一想：“如果$A=B$, $C=D$，那么$A+C=B+D$”．这
     个结论对吗？举例说明．
 \end{enumerate}   
\end{ex}

\subsubsection{不等式}
在我们进行有理数的比较时，曾经运用了大于号
“$>$”与小与号，“$<$”(统称为\textbf{不等号})的符号．例
如：$5>-7$,  $1-8<-1.4+1$，正数$a>$负数$b$等．

我们就把\textbf{用不等号“$>$”或“$<$”表示出来的关系
式，叫做不等式}．一般地记作：$A>B$（或$B<A$）．

不等式同样可以分为：\textbf{恒不等式、条件不等式和
矛盾不等式}．例如：
\begin{itemize}
    \item $5>-7,\quad   1-3<1,\quad a^2\ge 0$都是恒不等式．
    \item $a-1 >5,\qquad x+\frac{1}{2}<-1$等，都是条件不等式．
    \item $5+ (-2)<(-5)+1,\qquad -b^2>0$等都是矛盾不
等式．
\end{itemize}
      
    显然，对于不等式，有以下基本性质：

\begin{blk}{不等式的基本性质}
    \begin{enumerate}
        \item 如果$A>B$，那么$B<A$
    
        就是说：不等式两边对调，不等号也应调换方向．
    
        \item 如果$A>B$, $B>C$，那么$A>C$
        
        就是说：同向不等关系也可以传递．
        
        \item 如果$A>B$，那么$A+m>B+m$
    
        就是说：不等式两边，可以同加(或减)同一个数．
    \item 如果$A>B$，且$m>0$，那么$Am>Bm$
    
        就是说：不等式两边，可以乘以一个正数．
        \item 如果$A>B$，且$m<0$，那么$Am < Bm$
        
        就是说：不等式两边乘以一个负数，不等号的方
    向要改变．
    \end{enumerate}
\end{blk}

\begin{example}
    已知不等式$5a-b>\frac{1}{2}(a+7b)$，试比较$a,b$的大小．
\end{example}


\begin{solution}
    利用不等式的基本性质，可以作以下变形：
\begin{align*}
\because \quad & 5a-b>\frac{1}{2}(a+7b) \tag{已知}\\
\therefore \quad & 10a-2b>a+7b \tag{不等式两边乘以2}\\
 & 9a-2b>7b \tag{不等式两边加$(-a)$}\\
&9a>9b  \tag{不等式两边加$2b$}\\
\therefore \quad & a>b \tag{不等式两边同乘以$\frac{1}{9}>0$}
\end{align*}
因此可知，$a$大于$b$．
\end{solution}

\begin{example}
    试用不等式的基本性质，说明：
    如果有理数$a>b$，那么，$a>\frac{a+b}{2}>b$．
\end{example}

\begin{note}
   由$a>b$，可作如下变形：
\begin{align*}
 \frac{a}{2}&>\frac{b}{2} \tag{不等式两边同乘以$\frac{1}{2}>0$}   \\
 \frac{a}{2}+\frac{a}{2}&>\frac{a}{2}+\frac{b}{2} \tag{不等式两边同加$\frac{a}{2}$}   \\ 
\end{align*}
所以，
\begin{equation}
    a>\frac{a+b}{2}
\end{equation}
同样可以类似地说明：
\begin{equation}
    \frac{a+b}{2}>b
\end{equation}
因此，由(1.6)(1.7)可得出：
\[a>\frac{a+b}{2}>b\]
\end{note}

这个例题的事实，告诉我们：\textbf{任意两个有理数
$a, b$之间，至少可以有一个有理数$\frac{a+b}{2}$}．也就是说，
即便是相差很小的两个有理数之间，总还有另外的有
理数．这也是有理数系区别于自然数系、整数系的一
个重要特性．我们称它为有理数的\textbf{稠密性}．

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 已知：$4a - b>3a$，试比较$a,  b$的大小．
    \item 已知：$\frac{x}{4}-1$是一个正数，$x$应取什么样的数才行？
    \item 如果$a<b$，试说明：$\frac{a-b}{10}<0$．
    \item 想一想：如果“$A>B$, $C>D$, 那么$A+C>B+D$”的结
          论对吗？举例说明．
    \item 再想想：“如果$A>B$, $C<D$, 那么$A- C>B-D$”对吗？
          举例说明．
\end{enumerate}
\end{ex}        
        
\section*{习题1.4}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题1.4}
        
\begin{enumerate}
    \item 利用运算通性，计算下列各题：
\begin{enumerate}
    \item $-1\frac{2}{3}\x \left(0.5-\frac{2}{3}\right)\div 1\frac{1}{9}$
    \item $2^3\x 5\frac{3}{5}\div (-2)\x\left(-\frac{5}{14}\right)\x \left[-1\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\left(-\frac{1}{2}\right)^3\right]$
    \item $(-a)^{2n}\cdot (-a)^{2m+1}+(-1)^{2n-1}\cdot a+(-1)^{2m}a$
    \item $\frac{16^{n-2}\cdot 4^n}{8^{2n}}-\frac{5^{2n+4}\cdot 2^n}{5^{2n+3}\cdot 2^{n-3}}$
\end{enumerate}

\item 试用运算通性，说明：
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\qquad (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2 \]
\item 比较下列各组数的大小，并用不等号连接起来：
\begin{enumerate}
    \item $0$ 与$-0.0001$，\quad $0.0001$ 与$-1981$，\quad $-1981$ 与$-1990$ 
    \item $-1\frac{2}{3}$ 与$-1\frac{5}{8}$，\quad $-\frac{1}{4}$ 与$100$与$-\frac{1}{7}$，\quad $\frac{4}{5}$ 与$-0.1$与$\frac{5}{4}$
    \item  $-\frac{1}{2}$ 与$0.5$与 $-2.1$ 与$0$，\quad $5\frac{1}{2}$ 与$-2\frac{1}{2}$与 $4$ 与$-\frac{1}{4}$ 
\end{enumerate}

\item 将下列各数用不等号连接起来，并画在数轴上：
\begin{enumerate}
    \item $-\frac{1}{2},\quad  0.5 ,\quad -2.1  ,\quad 0  ,\quad -5  ,\quad  4\frac{1}{2} ,\quad 3  $
    \item $3,\quad  -5 ,\quad 5\frac{1}{2}  ,\quad  -2\frac{1}{2} ,\quad  -4 ,\quad  4 ,\quad  0 ,\quad  -3 $
\end{enumerate}

\item  在有理数$-7\frac{1}{3}$与$+5$之间(包括这两个数)，找出符
合下列条件的数：
\begin{enumerate}
    \item 最大的有理数，最小的整数，
    \item 所有的自然数及它们的相反数．
\end{enumerate}

\item  在下列等式的变形中，试说明应用了等式的什么样基本
性质？怎样变的？
\begin{enumerate}
    \item $a=b\quad \Rightarrow\quad a-3=b-3$
    \item $ 5a=b  \quad \Rightarrow\quad  a=\frac{1}{5}b $
    \item  $ ab=1,\; \text{且}b\ne 0  \quad \Rightarrow\quad  a=\frac{1}{b} $
    \item  $ \frac{10}{a}=\frac{5}{b}  \quad \Rightarrow\quad a=2b  $
    \item $ -2a=-4b+2  \quad \Rightarrow\quad  a+1=2b $
\end{enumerate}

\item 利用等式的基本性质，比较$a,b$的大小：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\frac{a}{2}=\frac{b}{2}-\frac{1}{2}$
    \item $-a+b=a-b+1$
    \item $a-b=b-a$
    \item $7a+1=-1+7b$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 利用等式性质，确定下列等式中的字母应取什么值：
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
        \item $\frac{x}{2}=8 $
        \item $\frac{3}{5}x=-9 $
        \item $\frac{3}{4}x=-\frac{9}{2} $
        \item $-\frac{1}{2}a=\frac{2}{7} $
        \item $-12x=-\frac{3}{2} $
        \item $-9=-\frac{3}{4}b $
        \item $m+1=8 $
        \item $n-\frac{1}{2}=\frac{1}{3} $
        \item $\frac{28}{a}=-4\quad (a\ne 0) $
        \item $|x|-1=4 $
        \item $3x-7=2 $
        \item $5(x+2)=\frac{1}{2} $
    \end{enumerate}
    \end{multicols}

\item 利用不等式的基本性质，比较$a, b$的大小：
\[a-\frac{1}{2}>\frac{1}{2}+b,\qquad a-0.1>0.1+2a-b \]

\item 说明在有理数$a, b$之间，一定有一个有理数$\frac{a+2b}{3}$
\end{enumerate}

\section*{本章内容要点}

一、复习和总结了小学算术中所学的数(自然
数，零及正分数)和四则运算，并进一步明确了自然
数的意义，系统说明了运算中的普遍性质(通性)这
就是：加法交换、结合律；乘法交换、结合律；分配
律及0、1的运算特性，还引进了乘方运算和指数运
算律：

乘方运算：相同因数的连乘积．
\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{\text{$n$个$a$}},\qquad a^1=a \]

指数运算律及零指数的意义：
\[a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n,\qquad (a^m)^n=a^{m\cdot n} \]
\[\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\; (b\ne 0),\qquad a^m\div a^n=a^{m-n}\; (a\ne 0,\; m\ge n),\qquad a^0=1\;(a\ne 0) \]

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二、由相反意义的量，引进了意义相反的正数与
负数，其特征就是“合并时，可以相消或部分相消”．
特别地，$(-a) +(+a) = 0$时，$-a$与$a$叫做互为相反
的数．$+1$与$-1$是相反意义的单位.因而将数的范围
就扩大到有理数．

      有理数包括正、负整数，0及正、负分数．

    一切有理数，组成有理数集合，它包含了整数集
合，而整数集合又包含了自然数集合．

    任一个有理数，都可以用数轴上的一个点表示出
来．

\vskip 2ex 

    三、有理数的运算法则：

    对有理数的运算法则，我们都是在承认运算通性
  (包括运算律、指数运算律，0与1的特性)仍然有
效的前提下，合理地作了规定的．
\begin{enumerate}
    \item 加法法则：设$a,  b$是正有理数．
\[\begin{split}
(+a)+(+b)&=+(a+b)\\
(-a)+(-b)&=-(a+b)\\
(+a)+(-b)&=\begin{cases}
  +(a-b) & (a>b)\\  
  -(b-a) & (a<b)\\  
\end{cases}    \\
(+a)+0&=0+(+a)=+a\\
(-a)+0&=0+(-a)=-a\\
0+0&=0
\end{split}\]
\item 减法法则：设$x,  y$是有理数，
$x-y=x+(-y)$
\item 乘法法则：设$a,  b$是正有理数，
\[\begin{split}
    (+a)\cdot (+b)&=+ab\\
    (-a)\cdot (+b)&=(+a)\cdot (-b)=-ab\\
    (-a)\cdot (-b)&=+ab \\
    (+a)\cdot 0&=(-a)\cdot 0=0\\
    0\x 0&=0
    \end{split}\]

\item 除法法则：设$x, y$是有理数，$y\ne 0$．
\[x\div y=x\x\frac{1}{y} \]

\item 乘方法则：除了有效地应用指数运算律之外，
有理数乘方还有以下规则：
\begin{itemize}
    \item 正数的任何次方，仍是正数．
    \item 零的非零次方，仍是零．
    \item 负数的偶次方是正数；而负数的奇次方是负
数．
\end{itemize}
        
\end{enumerate}




\vskip 2ex 

       
        
    四、有理数系是一个运算简便易行，通行无阻的
数集．是今后讨论数量的实际问题的有力工具．有理
数的性质可以概括为：
\begin{enumerate}
    \item 运算性质(通性)．

    四则运算封闭；加法、乘法的交换律、结合律和
分配律成立；零、1在运算中的特性；五个指数运算
律成立；$a^0=1,\; (a\ne 0)$．

\item 有理数可以比大小．
\begin{itemize}
    \item 当$a-b>0$时，$a>b$；
    \item  当$a-b=0$时，$a=b$；
    \item 当$a-b<0$时，$a<b$．
\end{itemize}
而且，有理数的大小，正好相当于在数轴上表示这些
有理数的点的右、左位置.我们称为“有理数的有序
性”．
\item 有理数的稠密性：任意两个有理数之间，存在
着很多有理数．
\end{enumerate}

\vskip 2ex 

五、等式与不等式的基本性质．


\section*{复习题一}
\addcontentsline{toc}{section}{复习题一}

\begin{enumerate}
    \item 回答问题：
\begin{enumerate}
    \item 最小自然数是几？最小非负整数是几？
    \item 若$a$为自然数，$\frac{5}{a}$也一定是自然数吗？
    \item 任意整数$m$，都能有倒数$\frac{1}{m}$吗？
    \item 如果$x$是有理数，$x^2$一定比$x$大吗？
\end{enumerate}
   
\item \begin{enumerate}
    \item 如果一个三角形的一边长为$a$，这边上的高为$h$，那么，
这个三角形的面积$S=$？
\item 如果把以上的三角形，底边增加一倍，那么，这个三角形的面积增加多少？
\end{enumerate}

\item 用$32$, $36$, $48$去除时，都余$15$的最小正整数应该是几？

\item 计算：
\begin{enumerate}
    \item $10^{n+1}\div 10^{n-1}  ,\qquad 100^{4n+1}\div 10^{8n-1} $
    \item $27^{2n+1}\div 9^{3n-2}  ,\qquad 5^{2n+3}\cdot 5^{3n-1}\div 5^{5n+2} $
    \item $6^{n+1}\cdot 6^{n+2} \div 6^{2n-1},\qquad 12^{n+5}\cdot 12^n\div 12^{2n+1} $
\end{enumerate}

\item 在下列条件下，求$\frac{m}{n}$的值．
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
        \item $m=2\frac{1}{7},\quad n=4\frac{2}{3}$
        \item $m,n$为相反数
        \item $m,n$互为倒数
        \item $m=-\frac{1}{2}n$
    \end{enumerate}
\end{multicols}

\item  \begin{enumerate}
    \item $a,b$为何值时，$a^2-b^2$表示正数？表示负数？表示零？
    \item $a$为何值时，下边的算式才成立？
    \[a>-a,\qquad a^2>a,\qquad \frac{a}{|a|}=1,\qquad \frac{a}{|a|}=-1\]
    \item 由$|m|=|n|$，能得出$m=n$的结论吗？为什么？$|m|>|n|$就可以得出$m>n$的结论吗？为什么？
    \item 如果$a,b$都是非零有理数，是否一定有：$a+b\ne 0,\; a\cdot b\ne 0$呢？举例说明．
\end{enumerate}

\item 计算：
\begin{enumerate}
    \item $\left\{\left[\frac{2}{5}+\left(-2\frac{1}{2}+1\frac{1}{4}\right)\x 1\frac{7}{25}\right]^2-\left(\frac{7}{50}-\frac{1}{10}\right)     \right\}\div\left(\frac{17}{25}-1 \frac{2}{5}\right) $
    \item $\left\{2 \frac{3}{16}-\left[4-\left(2 \frac{1}{7}-1 \frac{1}{5}\right) \times 3.5\right] \div 0.16\right\} 
\times\left(2 \frac{23}{24}-1 \frac{49}{60}\right) $
\item $(-1)\div \left\{\left[(+12) \times\left(-\frac{5}{8}\right)+3 \times(-0.5) \right] \times(-4)+(-6)\right\} $
\item $5 \frac{1}{2}\left(-\frac{6}{11}\right)-\left[-0.25+(-2)^{3}\div \left(-2 \frac{2}{3}\right) \div \frac{1}{3}\right]-\left|-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right|$
\end{enumerate}

\item   如果$a$表示有理数$-\frac{1}{2}$，试说明以下各算式表示什么有理数：
\[\left(\frac{a}{2}\cdot a^2\right)^3+a^{14}\div a^5,\qquad \frac{3a-1}{a+1}  \]

\item   利用等式性质，说明以下等式中的$x$应取何值：
\[5|x|+1=21,\qquad \frac{1}{2}|x|-1=1-\frac{1}{2}|x|  \]

\item  利用不等式性质，比较$x,  y$的大小：
\begin{enumerate}
    \item $5x-\frac{1}{5}<1+5y$；
    \item $\frac{1}{2}|x|+1>2+\frac{1}{2}|y|$．（讨论）
\end{enumerate}

\item 说明以下结论：
\begin{enumerate}
    \item 两个奇数的和或差，都是偶数．
    \item 三个连续自然数的乘积，一定能被6整除．
    \item 如果有理数$a>b$，那么就有：$a>\frac{a+3b}{4}>b$．
    \item 没有这样的奇数$a,  b$存在，使得等式$ab-a=1981$．
\end{enumerate}


\end{enumerate}

